Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene $K$ ved å produsere $x$ enheter av varen per dag er

K (x) = 0,1 x^{2} + 30 x + 1000, 0 \leq x \leq 300

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $K$ i intervallet $[0, 100]$ . Hva forteller dette svaret oss?

Bestem $K^{'} (100)$ . Hva forteller dette svaret oss?

Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.

Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?

Fasit

$40 k r / e n h e t$

$K^{'} (100) = 50 k r / e n h e t$

$x = 150 enheter$

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnittlig vekstfart til $K$ i intervallet $[0, 100]$ er

\frac{K (100) - K (0)}{100 - 0}

Vi finner funksjonsverdiene:

K (0) = 0,1 \cdot 0^{2} + 30 \cdot 0 + 1000 = 1000

K (100) = 0,1 \cdot 100^{2} + 30 \cdot 100 + 1000 = 1000 + 3000 + 1000 = 5000

Dette gir

\frac{K (100) - K (0)}{100} = \frac{5000 - 1000}{100} = \frac{4000}{100} = 40

$40 k r / e n h e t$

Svaret forteller at kostnadene i gjennomsnitt øker med $40 kr$ per enhet som produseres, når produksjonen økes fra $0$ til $100$ enheter.

Vi deriverer $K$ :

K^{'} (x) = 0,2 x + 30

Da er

K^{'} (100) = 0,2 \cdot 100 + 30 = 20 + 30 = 50

$K^{'} (100) = 50 k r / e n h e t$

Svaret er grensekostnaden ved $x = 100$ : det koster om lag $50 kr$ ekstra å produsere én enhet til, når produksjonen allerede er $100$ enheter.

Overskuddet $O (x)$ er inntekt minus kostnad. Bedriften selger alt den produserer for $60$ kroner per enhet, så inntekten er $60 x$ . Da er

O (x) = 60 x - K (x) = 60 x - (0,1 x^{2} + 30 x + 1000) = - 0,1 x^{2} + 30 x - 1000

Vi deriverer og setter $O^{'} (x) = 0$ for å finne toppunktet:

O^{'} (x) = - 0,2 x + 30

- 0,2 x + 30 = 0 \Rightarrow x = \frac{30}{0,2} = 150

Siden $O$ er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient ( $- 0,1$ ), er dette et toppunkt (maksimum), og $x = 150$ ligger i det tillatte området $[0, 300]$ .

$x = 150 enheter$

Bedriften får størst mulig overskudd når den produserer $150$ enheter per dag.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2016, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering

Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad

Lov på eksamen

Temaer