Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I bedriften er dagsproduksjonen av en vare $x$ enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved

E (x) = 0,15 x + 7 + \frac{2000}{x}, x \in [10, 300]

Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per enhet.

Kalkulator

Bestem et funksjonsuttrykk for totalkostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter.

Kalkulator

Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.

Fasit

$K (x) = 0,15 x^{2} + 7 x + 2000, I (x) = 55 x$

$Overskudd for x \in ⟨ 49,2, 270,8 ⟩, størst overskudd ved x = 160$

LøsningsforslagKI-generert

Totalkostnaden er antall enheter multiplisert med kostnaden per enhet:

K (x) = x \cdot E (x) = x \cdot (0,15 x + 7 + \frac{2000}{x}) = 0,15 x^{2} + 7 x + 2000

Inntekten er antall enheter multiplisert med prisen per enhet:

I (x) = 55 x

Bedriften får overskudd når inntekten er større enn kostnaden, altså der $Overskudd (x) = I (x) - K (x) > 0$ . Vi setter opp overskuddsfunksjonen:

Overskudd (x) = I (x) - K (x) = 55 x - (0,15 x^{2} + 7 x + 2000) = - 0,15 x^{2} + 48 x - 2000

Nullpunktene til $Overskudd (x)$ løses i GeoGebra CAS:

Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Fra skjermbildet (linje 4) er nullpunktene $x \approx 49,2$ og $x \approx 270,8$ . Siden $Overskudd (x)$ er en parabel med negativ ledende koeffisient, er overskuddet positivt mellom nullpunktene. Bedriften får altså overskudd for produksjonsmengder

x \in ⟨ 49,2, 270,8 ⟩

Størst overskudd får vi der den deriverte er null, altså der $K^{'} (x) = I^{'} (x)$ (grensekostnad lik grenseinntekt). Fra skjermbildet (linje 5 og 6):

{Overskudd}^{'} (x) = - 0,3 x + 48 = 0 \Rightarrow x = 160

Dette stemmer med å sette $K^{'} (x) = I^{'} (x)$ : $K^{'} (x) = 0,3 x + 7$ og $I^{'} (x) = 55$ , som gir $0,3 x + 7 = 55 \Rightarrow x = 160$ .

Fra skjermbildet (linje 7) er $Overskudd (160) = 1840$ . Bedriften får dermed størst overskudd, $1840 kr$ , ved en dagsproduksjon på

x = 160 e n h e t e r

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2015, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering

Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Kostnadsfunksjon og optimalt overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer