KI-generert løsningsforslag. Dette løsningsforslaget er skrevet av en språkmodell (Claude) og er ikke verifisert av lærer. Det kan inneholde regnefeil, upresis bruk av begreper eller mangler.
a)
Vi beregner lengden av hver vektor:
∣ u ⃗ ∣ = 3 2 + ( − 2 ) 2 = 9 + 4 = 13 |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} ∣ u ∣ = 3 2 + ( − 2 ) 2 = 9 + 4 = 13 ∣ v ⃗ ∣ = 4 2 + ( − 6 ) 2 = 16 + 36 = 52 = 2 13 |\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ∣ v ∣ = 4 2 + ( − 6 ) 2 = 16 + 36 = 52 = 2 13 ∣ w ⃗ ∣ = 2 2 + ( − 3 ) 2 = 4 + 9 = 13 |\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ∣ w ∣ = 2 2 + ( − 3 ) 2 = 4 + 9 = 13 ∣ p ⃗ ∣ = 8 2 + 12 2 = 64 + 144 = 208 = 4 13 |\vec{p}| = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} ∣ p ∣ = 8 2 + 1 2 2 = 64 + 144 = 208 = 4 13 ∣ u ⃗ ∣ = ∣ w ⃗ ∣ = 13 |\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{13} ∣ u ∣ = ∣ w ∣ = 13 u ⃗ og w ⃗ er like lange ‾ ‾ \underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{w} \text{ er like lange}}} u og w er like lange
For å avgjøre ortogonalitet beregner vi skalarproduktet for alle par. To vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null.
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 3 ⋅ 4 + ( − 2 ) ⋅ ( − 6 ) = 12 + 12 = 24 ≠ 0 \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot (-6) = 12 + 12 = 24 \neq 0 u ⋅ v = 3 ⋅ 4 + ( − 2 ) ⋅ ( − 6 ) = 12 + 12 = 24 = 0 u ⃗ ⋅ w ⃗ = 3 ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ ( − 3 ) = 6 + 6 = 12 ≠ 0 \vec{u} \cdot \vec{w} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) = 6 + 6 = 12 \neq 0 u ⋅ w = 3 ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ ( − 3 ) = 6 + 6 = 12 = 0 u ⃗ ⋅ p ⃗ = 3 ⋅ 8 + ( − 2 ) ⋅ 12 = 24 − 24 = 0 \vec{u} \cdot \vec{p} = 3 \cdot 8 + (-2) \cdot 12 = 24 - 24 = 0 u ⋅ p = 3 ⋅ 8 + ( − 2 ) ⋅ 12 = 24 − 24 = 0 v ⃗ ⋅ w ⃗ = 4 ⋅ 2 + ( − 6 ) ⋅ ( − 3 ) = 8 + 18 = 26 ≠ 0 \vec{v} \cdot \vec{w} = 4 \cdot 2 + (-6) \cdot (-3) = 8 + 18 = 26 \neq 0 v ⋅ w = 4 ⋅ 2 + ( − 6 ) ⋅ ( − 3 ) = 8 + 18 = 26 = 0 v ⃗ ⋅ p ⃗ = 4 ⋅ 8 + ( − 6 ) ⋅ 12 = 32 − 72 = − 40 ≠ 0 \vec{v} \cdot \vec{p} = 4 \cdot 8 + (-6) \cdot 12 = 32 - 72 = -40 \neq 0 v ⋅ p = 4 ⋅ 8 + ( − 6 ) ⋅ 12 = 32 − 72 = − 40 = 0 w ⃗ ⋅ p ⃗ = 2 ⋅ 8 + ( − 3 ) ⋅ 12 = 16 − 36 = − 20 ≠ 0 \vec{w} \cdot \vec{p} = 2 \cdot 8 + (-3) \cdot 12 = 16 - 36 = -20 \neq 0 w ⋅ p = 2 ⋅ 8 + ( − 3 ) ⋅ 12 = 16 − 36 = − 20 = 0 u ⃗ ⋅ p ⃗ = 0 \vec{u} \cdot \vec{p} = 0 u ⋅ p = 0 u ⃗ og p ⃗ er ortogonale ‾ ‾ \underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{p} \text{ er ortogonale}}} u og p er ortogonale
b)
Vi setter inn u ⃗ = [ 3 , − 2 ] \vec{u} = [3, -2] u = [ 3 , − 2 ] q ⃗ = [ 2 a − 3 , 1 + 3 b ] \vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b] q = [ 2 a − 3 , 1 + 3 b ]
u ⃗ + 2 q ⃗ = [ 7 , 5 ] \vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5] u + 2 q = [ 7 , 5 ] [ 3 , − 2 ] + 2 [ 2 a − 3 , 1 + 3 b ] = [ 7 , 5 ] [3, -2] + 2[2a - 3,\ 1 + 3b] = [7, 5] [ 3 , − 2 ] + 2 [ 2 a − 3 , 1 + 3 b ] = [ 7 , 5 ] [ 3 + 4 a − 6 , − 2 + 2 + 6 b ] = [ 7 , 5 ] [3 + 4a - 6,\ -2 + 2 + 6b] = [7, 5] [ 3 + 4 a − 6 , − 2 + 2 + 6 b ] = [ 7 , 5 ] [ 4 a − 3 , 6 b ] = [ 7 , 5 ] [4a - 3,\ 6b] = [7, 5] [ 4 a − 3 , 6 b ] = [ 7 , 5 ] Dette gir likningssystemet:
4 a − 3 = 7 6 b = 5 \begin{aligned} 4a - 3 &= 7 \\ 6b &= 5 \end{aligned} 4 a − 3 6 b = 7 = 5 Fra første likning: 4 a = 10 4a = 10 4 a = 10 a = 5 2 ‾ ‾ \underline{\underline{a = \dfrac{5}{2}}} a = 2 5
Fra andre likning: b = 5 6 ‾ ‾ \underline{\underline{b = \dfrac{5}{6}}} b = 6 5