Koordinater, linje og ortogonalitet

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-2, 3)$ og $B(3, 2)$ .

Bestem lengden av linjestykket $AB$ .

Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer $x$ -aksen i punktet $C$ .

Bestem koordinatene til $C$ .

Et punkt $D$ er gitt ved $D(2, t)$ der $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem $t$ slik at $\angle ABD$ blir $90\degree$ .

Fasit

$|AB| = \sqrt{26}$

$C = (13,\; 0)$

$t = -3$

Løsningsforslag

|AB| = \sqrt{(3-(-2))^2 + (2-3)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}

$\underline{\underline{|AB| = \sqrt{26}}}$

Stigningstallet til linjen gjennom $A(-2,3)$ og $B(3,2)$ er

m = \frac{2-3}{3-(-2)} = -\frac{1}{5}

Linjens ligning: $y - 3 = -\dfrac{1}{5}(x + 2)$ , det vil si $y = \dfrac{13}{5} - \dfrac{x}{5}$ .

For $y = 0$ : $x = 13$ .

$\underline{\underline{C = (13,\; 0)}}$

Vinkelen $\angle ABD = 90°$ betyr at $\vec{BA} \perp \vec{BD}$ , altså $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = 0$ .

\vec{BA} = (-5,\; 1) \qquad \vec{BD} = (2-3,\; t-2) = (-1,\; t-2)

\vec{BA} \cdot \vec{BD} = (-5)(-1) + 1 \cdot (t-2) = 5 + t - 2 = 3 + t = 0 \implies t = -3

$\underline{\underline{t = -3}}$

Sensorveiledning

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng.

En presis tegning uten god tilhørende argumentasjon kan gi 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet