Konto og aksjefond med månedlig rente og innskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Knut har satt inn 70 000 kroner på en konto med en fast månedlig rentesats. Beløpet $B$ som Knut har på kontoen $x$ måneder etter han satte inn pengene, er gitt ved

B(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^x

Bestem den årlige rentesatsen på denne kontoen.

Hvor lang tid går det før han har 80 000 kroner på denne kontoen?

Nøyaktig 24 måneder etter at Knut satte inn pengene på kontoen, setter han inn 2000 kroner i et aksjefond. Han fortsetter å sette inn 2000 kroner hver måned framover. Han regner med at aksjefondet vil gi en månedlig avkastning på 0,7 prosent.

La $T(x)$ være den totale verdien av beløpet på kontoen og verdien i aksjefondet $x$ måneder etter at han begynte å spare i aksjefondet.

Er funksjonen $T$ kontinuerlig? Begrunn svaret.

Hvor lang tid vil det gå før $T(x)$ blir større enn 200 000 kroner?

Fasit

Den årlige rentesatsen er ca. 3,66 %.

Det tar 45 måneder.

$T$ er ikke kontinuerlig fordi aksjefondet $A(x)$ kun er definert for hele måneder og hopper opp ved hvert nytt månedlig innskudd.

Det tar 48 måneder (4 år).

LøsningsforslagKI-generert

Månedlig vekstfaktor er $1{,}003$ . Etterkvartelighet over 12 måneder gir den årlige vekstfaktoren

1{,}003^{12} \approx 1{,}0366

Den årlige rentesatsen er dermed ca. 3,66 %.

Vi setter $B(x) = 80\,000$ og løser for $x$ :

70\,000 \cdot 1{,}003^x = 80\,000

1{,}003^x = \frac{8}{7}

x = \frac{\ln\!\left(\tfrac{8}{7}\right)}{\ln(1{,}003)} \approx 44{,}58

Siden $x$ telles i hele måneder og $B(44) \approx 79\,862 < 80\,000$ , må vi vente til $x = 45$ .

B(45) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{45} \approx 80\,101 \text{ kr}

Det tar 45 måneder før Knut har 80 000 kroner på kontoen.

$T(x)$ er ikke kontinuerlig.

Bankkontoen $B(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x}$ er en eksponentialfunksjon og er kontinuerlig for alle $x$ .

Aksjefondet $A(x)$ derimot er bare definert for hele måneder. Mellom to innskudd vokser eksisterende beløp med renter, men ved starten av hver ny måned settes det inn 2 000 kr og verdien hopper opp. Det betyr at $A(x)$ har et sprang (diskontinuitet) ved hvert heltall $x = 1, 2, 3, \ldots$

Siden $T(x) = B(x) + A(x)$ inneholder den diskontinuerlige $A(x)$ , er $T$ ikke kontinuerlig.

$x$ måneder etter at aksjefondet startet (det vil si $24 + x$ måneder etter at kontoen ble opprettet) er bankkontoen verdt

B(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x}

Knut setter inn 2 000 kr ved starten av måned 1, 2, …, $x$ . Det første innskuddet har stått i $x$ måneder, det andre i $x-1$ måneder, osv. Aksjefondet er verdt

A(x) = 2\,000 \cdot 1{,}007^x + 2\,000 \cdot 1{,}007^{x-1} + \cdots + 2\,000 \cdot 1{,}007^1

Dette er en geometrisk rekke med første ledd $2\,000 \cdot 1{,}007$ , kvotient $1{,}007$ og $x$ ledd:

A(x) = 2\,000 \cdot 1{,}007 \cdot \frac{1{,}007^x - 1}{1{,}007 - 1} = \frac{2\,000 \cdot 1{,}007 \cdot (1{,}007^x - 1)}{0{,}007}

Den totale verdien er

T(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^{24+x} + \frac{2\,000 \cdot 1{,}007 \cdot (1{,}007^x - 1)}{0{,}007}

Vi finner (med CAS) at den kontinuerlige løsningen av $T(x) = 200\,000$ gir $x \approx 47{,}6$ . Vi sjekker de to nærmeste heltallene:

$x$	$B(x)$	$A(x)$	$T(x)$
47	86 589	111 629	198 218
48	86 849	114 425	201 274

$T(47) \approx 198\,218 < 200\,000$ og $T(48) \approx 201\,274 > 200\,000$ .

Det tar 48 måneder (4 år) før den totale verdien overstiger 200 000 kroner.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Rekker, Modellering, Eksponentialfunksjon

Konto og aksjefond med månedlig rente og innskudd

Sync på tvers av enheter

Konto og aksjefond med månedlig rente og innskudd

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave