Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1, & x < 2 \\ x - t, & x \geq 2 \end{matrix}

For hånd

Bestem tallet $t$ slik at $f$ blir en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

For hånd

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 2$ for den verdien av $t$ du fant i oppgave a).

Fasit

$t = - 3$

$f$ er ikke deriverbar i $x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 2$ , må venstre- og høyregrensene møtes i samme punkt. Det vil si at de to deluttrykkene må gi samme funksjonsverdi i skjøtepunktet $x = 2$ :

\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x)

x^{2} + 1 |_{x = 2} = x - t |_{x = 2}

2^{2} + 1 = 2 - t

5 = 2 - t

t = - 3

For $t = - 3$ er $f$ kontinuerlig i $x = 2$ .

Med $t = - 3$ er funksjonen

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1, & x < 2 \\ x + 3, & x \geq 2 \end{matrix}

For at $f$ skal være deriverbar i $x = 2$ , må den venstrederiverte og høyrederiverte være like.

Venstrederiverte (fra $x^{2} + 1$ ):

f^{'} (x) = 2 x ⟹ f^{'} (2^{-}) = 2 \cdot 2 = 4

Høyrederiverte (fra $x + 3$ ):

f^{'} (x) = 1 ⟹ f^{'} (2^{+}) = 1

Siden $4 \neq 1$ , er den venstrederiverte og høyrederiverte forskjellige i $x = 2$ .

Dermed er $f$ ikke deriverbar i $x = 2$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner, Derivasjon

Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer