Vi skal avgjøre om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$. Vi undersøker venstregrensen, funksjonsverdien og høyregrensen.

Venstregrensen ($x \to 0^-$, dvs. $f(x) = x^2 + 2$):

Funksjonsverdien (siden $x = 0$ gir $f(x) = 2e^x$):

Høyregrensen ($x \to 0^+$, dvs. $f(x) = 2e^x$):

Siden $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$, er $f$ $\underline{\underline{\text{kontinuerlig i } x = 0}}$.

Vi skal avgjøre om $f$ er deriverbar i $x = 0$. Det krever at den deriverte fra venstre og høyre er like.

Den deriverte fra venstre bruker $f(x) = x^2 + 2$, som gir $f'(x) = 2x$:

Den deriverte fra høyre bruker $f(x) = 2e^x$, som gir $f'(x) = 2e^x$:

Siden $0 \ne 2$, er de ensidige deriverte ikke like, og $f$ er $\underline{\underline{\text{ikke deriverbar i } x = 0}}$.