Kontinuitet og deriverbarhet for delt forskrift med parameter k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1, & x < 2 \\ x - k, & x \geq 2 \end{matrix}

Bestem tallet $k$ slik at $f$ blir en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 2$ når $k$ har verdien du fant i oppgave a).

Fasit

$k = - 3$

$f er ikke deriverbar i x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 2$ , må grenseverdien fra venstre være lik funksjonsverdien i $x = 2$ (som er gitt av uttrykket for $x \geq 2$ ):

\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)

Grenseverdien fra venstre er

\lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5

Funksjonsverdien i $x = 2$ er $f (2) = 2 - k$ . Kontinuitet krever da

\begin{matrix} 2 - k & = 5 \\ - k & = 3 \\ k & = - 3 \end{matrix}

Svar: $k = - 3$

Med $k = - 3$ er $f (x) = x - (- 3) = x + 3$ for $x \geq 2$ . Vi finner den deriverte av hvert av de to uttrykkene og sammenligner grenseverdiene i $x = 2$ .

For $x < 2$ er $f (x) = x^{2} + 1$ , som gir $f^{'} (x) = 2 x$ . Den venstresidige deriverte i $x = 2$ er

f^{'} (2^{-}) = 2 \cdot 2 = 4

For $x \geq 2$ er $f (x) = x + 3$ , som gir $f^{'} (x) = 1$ . Den høyresidige deriverte i $x = 2$ er

f^{'} (2^{+}) = 1

Siden $f^{'} (2^{-}) = 4 \neq 1 = f^{'} (2^{+})$ , er de ensidige deriverte forskjellige. Grafen får dermed et “knekkpunkt” i $x = 2$ , og $f$ er ikke deriverbar der.

Svar: $f er ikke deriverbar i x = 2$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kontinuitet, Delt forskrift, Derivasjon

Kontinuitet og deriverbarhet for delt forskrift med parameter k

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kontinuitet og deriverbarhet for delt forskrift med parameter k

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kontinuitet og deriverbarhet for delt forskrift med parameter k

Kontinuitet og deriverbarhet for delt forskrift med parameter k

Lov på eksamen

Temaer