Konsentrasjon i kjemisk reaksjon

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen, i millimol per liter (mmol/L), av et stoff, $t$ sekunder etter at en kjemisk reaksjon startet. Når det har gått lang tid, vil konsentrasjonen av stoffet stabilisere seg på $2{,}5 \mathrm{~mmol/L}$ .

Tid (s)	0	10	20	30	40	50	60
Konsentrasjon (mmol/L)	0	0,28	0,53	0,76	0,95	1,13	1,28
Konsentrasjon $-\,2{,}5$ (mmol/L)	−2,5	−2,22	−1,97	−1,74	−1,55	−1,37	−1,22

Bruk blant annet regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t

er en god modell for konsentrasjonen av stoffet $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen er $2{,}0 \mathrm{~mmol/L}$ ?

Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen øker med mindre enn $0{,}001 \mathrm{~mmol/L}$ per sekund?

Fasit

Regresjon på de forskjøvede verdiene $(t,\, c(t)-2{,}5)$ gir $a \approx -2{,}5$ og $b \approx 0{,}99$ , som bekrefter modellen $f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t$ .

$\underline{\underline{t \approx 160 \mathrm{~sekunder}}}$

$\underline{\underline{t \approx 321 \mathrm{~sekunder}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Tabellen i oppgaven inkluderer en rad med de forskjøvede verdiene $c(t) - 2{,}5$ . Siden $f(t) \to 2{,}5$ når $t \to \infty$ , forventer vi at $f(t) - 2{,}5$ følger en eksponentialfunksjon av typen $g(t) = a \cdot b^t$ .

Vi logger de forskjøvede verdiene:

\ln|c(t) - 2{,}5| = \ln|a| + t \cdot \ln b

Dette er en lineær funksjon av $t$ . Vi utfører lineær regresjon (eller eksponentialregresjon) på punktene

(t,\ c(t) - 2{,}5) = (0,\ {-2{,}5}),\ (10,\ {-2{,}22}),\ (20,\ {-1{,}97}),\ \ldots,\ (60,\ {-1{,}22})

og får $a \approx -2{,}5$ og $b \approx 0{,}99$ . Dermed er

f(t) = 2{,}5 + g(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t

Grafen nedenfor viser at modellkurven ligger svært nært datapunktene:

Datapunkter og modellkurve for konsentrasjonen

Vi løser $f(t) = 2{,}0$ i GeoGebra CAS (se linje 2 i utklippet nedenfor):

2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t = 2{,}0

0{,}99^t = \frac{0{,}5}{2{,}5} = 0{,}2

t = \frac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}99} \approx \underline{\underline{160 \mathrm{~sekunder}}}

Det tar omtrent 160 sekunder før konsentrasjonen er $2{,}0 \mathrm{~mmol/L}$ .

Vi deriverer $f(t) = 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 0{,}99^t$ og bruker at $0{,}99^t = e^{t \ln 0{,}99}$ :

f'(t) = -2{,}5 \cdot \ln(0{,}99) \cdot 0{,}99^t

Siden $\ln(0{,}99) < 0$ er $f'(t) > 0$ , det vil si konsentrasjonen øker hele tiden (som forventet). Vi ønsker å finne når $f'(t) < 0{,}001$ , det vil si vi løser $f'(t) = 0{,}001$ (se linje 5 i CAS-utklippet):

-2{,}5 \cdot \ln(0{,}99) \cdot 0{,}99^t = 0{,}001

0{,}99^t = \frac{0{,}001}{-2{,}5 \cdot \ln(0{,}99)} \approx 0{,}0398

t = \frac{\ln(0{,}0398)}{\ln(0{,}99)} \approx \underline{\underline{321 \mathrm{~sekunder}}}

Etter omtrent 321 sekunder øker konsentrasjonen med mindre enn $0{,}001 \mathrm{~mmol/L}$ per sekund.

GeoGebra CAS: definisjon av f, løsning av b) og c)

Sensorveiledning

3 poeng

For å få full uttelling må kandidaten argumentere for bruk av differansen. Riktig regresjon som er godt kommunisert, kan gi 1 poeng.

En riktig strategi, men med feil svar, kan gi 1 poeng.

3 poeng

En riktig strategi, men med feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: regresjon, eksponentialfunksjoner, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett