Koder med A og B kombinatorikk og sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Av tegnene A og B skal vi lage en kode som består av åtte tegn. To eksempler på slike koder er AABBAAAB og ABBAABBA.

Hvor mange ulike koder kan vi lage?

Hva er sannsynligheten for at det er minst seks A-er i en tilfeldig kode?

Fasit

256

$\frac{37}{256} \approx 0{,}14$

LøsningsforslagKI-generert

Koden består av åtte tegn, og hvert tegn er enten A eller B. Det er altså to valg for hver posisjon, og valgene er uavhengige av hverandre.

Antall ulike koder:

2^8 = 256

Siden koden er tilfeldig, er hvert tegn like sannsynlig A som B. Vi lar $X$ være antall A-er i koden.

X \sim \text{Bin}(8,\ 0{,}5)

Vi vil finne $P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ .

For binomisk fordeling med $p = 0{,}5$ og $n = 8$ gjelder:

P(X = k) = \binom{8}{k} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8

Vi beregner hvert ledd:

P(X = 6) = \binom{8}{6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 28 \cdot \frac{1}{256} = \frac{28}{256}

P(X = 7) = \binom{8}{7} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}

P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}

Sannsynligheten for minst seks A-er:

P(X \geq 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0{,}14

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter