Kikhoste og eksponentiell modell

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

Måned	Januar 2023	Mai 2023	Oktober 2023	Februar 2024	August 2024	Oktober 2024
Antall registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La $x$ være antall måneder etter desember 2022, det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved

K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, K(4))$ og $(21, K(21))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

Modellverdiene ligger nær de observerte verdiene – $K$ er en god modell.

$\underline{\underline{\text{Stigning} \approx 71{,}84 \text{ tilfeller per måned}}}$

$\underline{\underline{K(29) \approx 5499 \text{ tilfeller}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x$ i GeoGebra CAS og beregner alle deloppgavene i én sesjon.

CAS-beregninger for alle deloppgaver

Vi beregner $K(x)$ for de seks månedene i tabellen og sammenligner med de observerte verdiene:

Måned	$x$	Observert	$K(x)$
Januar 2023	1	29	$\approx 33$
Mai 2023	5	93	$\approx 69$
Oktober 2023	10	164	$\approx 172$
Februar 2024	14	284	$\approx 357$
August 2024	20	1035	$\approx 1066$
Oktober 2024	22	1657	$\approx 1535$

Modellverdiene er av samme størrelsesorden som de observerte verdiene i alle månedene. Avvikene er relativt små sammenlignet med de faktiske tallene. $K$ er derfor en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i perioden.

Vi beregner stigningstallet til linjen gjennom $(4, K(4))$ og $(21, K(21))$ :

\frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}94 - 57{,}65}{17} \approx \underline{\underline{71{,}84}}

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antallet registrerte kikhoste-tilfeller med ca. $\textbf{72}$ tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 ( $x = 4$ ) til september 2024 ( $x = 21$ ).

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, altså $x = 29$ .

K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx \underline{\underline{5499 \text{ tilfeller}}}

Ifølge modellen vil det bli registrert ca. 5499 tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025.

Sensorveiledning

1,7 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten vise hvordan utrykket framkommer med utgangspunkt i dataverdiene som er gitt. En kandidat som bruker det gitte uttrykket, tegner grafen, og viser at dataverdiene gir punkt som tilnærmet ligger på denne, kan få 1 poeng. En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

1,7 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i antall registrerte tilfeller per måned.

1,7 poeng

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: eksponentiell vekst, modellering, gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar