Kasser av metallplater

Sofie arbeider ved en bedrift og skal lage kasser av metallplater. Metallplatene har form som rektangler og er 1200 mm lange og 800 mm brede.

For å lage kassene skal hun skjære bort et kvadrat i hvert av hjørnene og brette opp sidekantene.

Illustrasjon av metallplate, utskjæring og ferdig kasse

Kassene skal fylles med sand.

Kalkulator

Vis at det vil være plass til 60 L sand i en kasse dersom Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde 100 mm i hvert hjørne.

Sofie ønsker en oversikt som viser volumet av ulike kasser hun kan lage av metallplatene.

Kalkulator

Lag en systematisk oversikt for Sofie. Av oversikten skal Sofie kunne se omtrent hvor lange sidene i kvadratene hun skal skjære bort må være, for at volumet av kassen skal bli størst mulig.

Sofie ønsker å lage en modell som viser volumet av de ulike kassene hun kan lage av metallplatene.

Krever PC

Sett opp et funksjonsuttrykk Sofie kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom lengden av sidene i kvadratene hun skjærer bort, og volumet av kassene.

Krever PC

Hvor mye av hjørnene må Sofie skjære bort dersom hun vil lage kassene slik at volumet blir størst mulig? Hvor stort blir dette volumet?

For hånd

Hva vil du si er modellens gyldighetsområde? Argumenter for svaret ditt.

Fasit

Volum $= 1000 \cdot 600 \cdot 100 {mm}^{3} = 60 000 000 {mm}^{3} = 60 L$

Maksimalt volum ved $x \approx 150 mm$

$V (x) = (1200 - 2 x) (800 - 2 x) \cdot x$ , se grafisk fremstilling

$x \approx 157 mm$ , maks volum $\approx 67,6 L$

Gyldighetsområde: $0 < x < 400 mm$

Løsningsforslag

Med sidelengde $x = 100 mm$ på hvert utskåret kvadrat:

Lengde: $1200 - 2 \cdot 100 = 1000 mm$
Bredde: $800 - 2 \cdot 100 = 600 mm$
Høyde: $100 mm$

V = 1000 \cdot 600 \cdot 100 = 60 000 000 {mm}^{3}

Vi omregner til liter ( $1 L = 1 000 000 {mm}^{3}$ ):

V = \frac{60 000 000}{1 000 000} = 60 L ✓

La $x$ være sidelengden (i mm) til de utskårede kvadratene. Vi lager en oversikt:

$x$ (mm)	Lengde (mm)	Bredde (mm)	Volum (L)
50	1100	700	38,5
100	1000	600	60,0
150	900	500	67,5
200	800	400	64,0
250	700	300	52,5
300	600	200	36,0
350	500	100	17,5

Ut fra tabellen ser vi at volumet er størst når $x$ er omtrent $150 mm$ .

Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde $x$ mm, får kassen:

Lengde: $(1200 - 2 x) mm$
Bredde: $(800 - 2 x) mm$
Høyde: $x mm$

Funksjonsuttrykket (volum i L):

V (x) = \frac{(1200 - 2 x) (800 - 2 x) \cdot x}{1 000 000}

Vi tegner grafen i GeoGebra:

Grafen til V i GeoGebra med sidelengden x i millimeter på førsteaksen og volum i liter på andreaksen. Grafen stiger til toppunktet Maks der x er omtrent 157 mm og volumet 67,6 L, og synker så mot null ved x = 400.

Fra grafen (se punkt Maks) er volumet størst ved $x \approx 157 mm$ , og maksimalt volum er ca. $67,6 L$ .

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde ca. $157 mm$ . Da blir volumet størst mulig med ca. $67,6 L$ .

For at kassen skal gi mening må alle dimensjonene være positive:

Høyde: $x > 0$
Bredde: $800 - 2 x > 0 \Rightarrow x < 400$

(Lengdebetingelsen $x < 600$ er oppfylt automatisk når $x < 400$ .)

Gyldighetsområdet er $0 < x < 400 mm$ .

I praksis vil det også være en nedre grense (for eksempel $x \geq 10 mm$ ) siden det ikke er mulig å skjære bort kvadrater som er for bitte små, men matematisk sett er $0 < x < 400 mm$ det naturlige gyldighetsområdet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

None

For å få full uttelling må kandidaten lage en systematisk oversikt med verdier som gjør at det er mulig å se omtrent hvor lange sidene i kvadratene må være.

Mindre systematiske eller mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng.

Kandidater som bruker modellen fra oppgave c) for å lage oversikten, kan få full uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling.

None

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2024, del 2, oppgave 8
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Volum, Optimering, Funksjoner
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Kasser av metallplater

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kasser av metallplater

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kasser av metallplater

Kasser av metallplater

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer