Jordbær som omdreiningslegeme

Tverrsnitt av jordbær i målestokk 1:1

Linjal i målestokk 1:1

Bildet viser tverrsnittet av et jordbær i målestokk 1:1. Bruk integrasjon og omdreiningslegeme til å beregne volumet av hele jordbæret. Kommenter formen på omdreiningslegemet ditt og vurder svaret.

Fasit

$V \approx 35 \, \mathrm{cm}^3$ (avhenger av målinger fra bildet)

Løsningsforslag

Vi legger et koordinatsystem med origo spissen på jordbæret og måler avstanden fra $x$ -aksen til kanten av jordbæret. Jeg har gjort dette i GeoGebra ved å sette ut punkter, se figur figur 1.

Jeg valgte en andregradsmodell siden denne passet «godt nok». Vi ser at modellen følger omrisset av jordbæret relativt godt fram til punkt $H$ . Vi underestimerer volumet mellom $C$ og $D$ , men vi overestimerer mellom $D$ og $E$ . Jeg setter integrasjonsgrensen til 3,65 cm siden toppen av jordbæret «bøyer seg tilbake» inn mot stilkfestet.

Figur 1: Regresjon og beregning av volum i GeoGebra

Jeg beregner volumet som et omdreiningslegeme med $\pi \int_{a}^{b} \left( f(x) \right)^{2} \, \mathrm{d}x$ i GeoGebra.

Volumet av jordbæret er omtrent $\underline{\underline{ 35 \mathrm{~cm}^{3} }}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å beregne volumet, og 1 poeng for å kommentere og vurdere løsningen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: integral, volum, omdreiningslegeme, modellering, regresjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner