Puckens posisjon er gitt ved $\vec{r}(t) = [8(e^{-t} - t),\; 5(e^{-t} - t)]$. Farten er lengden av hastighetsvektoren $\vec{r}'(t)$.

Vi deriverer komponentvis:

Ved $t = 0$:

Farten er:

Pucken hadde fart $\underline{\underline{2\sqrt{89} \approx 18{,}87 \, \mathrm{m/s}}}$ idet den ble sendt av gårde.

Banen er $60 \, \mathrm{m}$ lang og $30 \, \mathrm{m}$ bred med origo i midten, så $-30 \leq x \leq 30$ og $-15 \leq y \leq 15$.

Vi observerer at $\vec{r}(t) = (e^{-t} - t) \cdot [8,\; 5]$. La $u(t) = e^{-t} - t$. Da er $x(t) = 8u(t)$ og $y(t) = 5u(t)$.

Siden $u'(t) = -e^{-t} - 1 < 0$ for alle $t$, avtar $u(t)$ strengt, og dermed avtar både $x$ og $y$ fra startverdiene $x(0) = 8$ og $y(0) = 5$. Pucken beveger seg mot negative $x$- og $y$-verdier, så de aktuelle grensene er $x = -30$ og $y = -15$.

Vi undersøker hvilken grense som nås først ved å løse to likninger:

• $y = -15$: $5(e^{-t} - t) = -15 \;\Rightarrow\; e^{-t} - t = -3$. Numerisk løsning: $t \approx 3{,}05$.
• $x = -30$: $8(e^{-t} - t) = -30 \;\Rightarrow\; e^{-t} - t = -3{,}75$. Numerisk løsning: $t \approx 3{,}77$.

Siden $u(t)$ er avtagende, nås $u = -3$ (tilsvarer $y = -15$) før $u = -3{,}75$ (tilsvarer $x = -30$).

Kontroll: ved $t \approx 3{,}05$ er $x = 8 \cdot (-3) = -24 \, \mathrm{m}$, som er innenfor banen ($-30 \leq -24 \leq 30$ ✓).

Pucken treffer lang-vanten ($y = -15$) etter ca. $\underline{\underline{3{,}05 \, \mathrm{sekunder}}}$.

Puckens posisjon er alltid $\vec{r}(t) = u(t) \cdot [8,\; 5]$ der $u(t) = e^{-t} - t$. Det betyr at pucken beveger seg langs den rette linjen gjennom origo i retning $[8,\; 5]$, altså langs linjen $5x = 8y$.

Spillerens posisjon ved tid $t$ er:

For at spilleren skal treffes av pucken, må $\vec{P}(t) = \vec{r}(t)$ for et tidspunkt $t \geq 0$. Dette gir likningssystemet:

Fra begge likninger kan vi isolere $e^{-t} - t$:

• Ligning 1: $e^{-t} - t = \dfrac{3t - 18}{8}$
• Ligning 2: $e^{-t} - t = \dfrac{11 - 7t}{5}$

Setter de to uttrykkene like hverandre:

Dette er det eneste tidspunktet der spillerens bane og puckens bane er på samme rette linje. Vi sjekker om de er i samme punkt:

• Spillerens posisjon: $(-18 + 3 \cdot 2{,}51,\; 11 - 7 \cdot 2{,}51) \approx (-10{,}47,\; -6{,}55)$
• Puckens posisjon: $(8(e^{-2{,}51} - 2{,}51),\; 5(e^{-2{,}51} - 2{,}51)) \approx (-19{,}40,\; -12{,}13)$

De to posisjonene er ulike — selv om banen til spilleren krysser linjen pucken beveger seg langs, er de ikke i samme punkt på samme tid.

Spilleren ble dermed ikke truffet av pucken.