Puckens posisjon er gitt ved $\overrightarrow{r}(t)=[8(e^{-t}-t),5(e^{-t}-t)]$. Farten er lengden av hastighetsvektoren ${\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)$.

Vi deriverer komponentvis:

Ved $t=0$:

Farten er:

Pucken hadde fart $\underline{\underline{2\sqrt{89}\approx \mathrm{18,87}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$ idet den ble sendt av gårde.

Banen er $60\mathrm{m}$ lang og $30\mathrm{m}$ bred med origo i midten, så $-30\le x\le 30$ og $-15\le y\le 15$.

Vi observerer at $\overrightarrow{r}(t)=(e^{-t}-t)\cdot [8,5]$. La $u(t)=e^{-t}-t$. Da er $x(t)=8u(t)$ og $y(t)=5u(t)$.

Siden $u^{\prime }(t)=-e^{-t}-1<0$ for alle $t$, avtar $u(t)$ strengt, og dermed avtar både $x$ og $y$ fra startverdiene $x(0)=8$ og $y(0)=5$. Pucken beveger seg mot negative $x$- og $y$-verdier, så de aktuelle grensene er $x=-30$ og $y=-15$.

Vi undersøker hvilken grense som nås først ved å løse to likninger:

• $y=-15$: $5(e^{-t}-t)=-15\Rightarrow e^{-t}-t=-3$. Numerisk løsning: $t\approx \mathrm{3,05}$.
• $x=-30$: $8(e^{-t}-t)=-30\Rightarrow e^{-t}-t=-\mathrm{3,75}$. Numerisk løsning: $t\approx \mathrm{3,77}$.

Siden $u(t)$ er avtagende, nås $u=-3$ (tilsvarer $y=-15$) før $u=-\mathrm{3,75}$ (tilsvarer $x=-30$).

Kontroll: ved $t\approx \mathrm{3,05}$ er $x=8\cdot (-3)=-24\mathrm{m}$, som er innenfor banen ($-30\le -24\le 30$ ✓).

Pucken treffer lang-vanten ($y=-15$) etter ca. $\underline{\underline{\mathrm{3,05}\mathrm{sekunder}}}$.

Puckens posisjon er alltid $\overrightarrow{r}(t)=u(t)\cdot [8,5]$ der $u(t)=e^{-t}-t$. Det betyr at pucken beveger seg langs den rette linjen gjennom origo i retning $[8,5]$, altså langs linjen $5x=8y$.

Spillerens posisjon ved tid $t$ er:

For at spilleren skal treffes av pucken, må $\overrightarrow{P}(t)=\overrightarrow{r}(t)$ for et tidspunkt $t\ge 0$. Dette gir likningssystemet:

Fra begge likninger kan vi isolere $e^{-t}-t$:

• Ligning 1: $e^{-t}-t={\displaystyle \frac{3t-18}{8}}$
• Ligning 2: $e^{-t}-t={\displaystyle \frac{11-7t}{5}}$

Setter de to uttrykkene like hverandre:

Dette er det eneste tidspunktet der spillerens bane og puckens bane er på samme rette linje. Vi sjekker om de er i samme punkt:

• Spillerens posisjon: $(-18+3\cdot \mathrm{2,51},11-7\cdot \mathrm{2,51})\approx (-\mathrm{10,47},-\mathrm{6,55})$
• Puckens posisjon: $(8(e^{-\mathrm{2,51}}-\mathrm{2,51}),5(e^{-\mathrm{2,51}}-\mathrm{2,51}))\approx (-\mathrm{19,40},-\mathrm{12,13})$

De to posisjonene er ulike — selv om banen til spilleren krysser linjen pucken beveger seg langs, er de ikke i samme punkt på samme tid.

Spilleren ble dermed ikke truffet av pucken.