Integrasjon ved substitusjon og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int 2 x \cdot \sin (x^{2}) d x

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x

Fasit

$- \cos (x^{2}) + C$

$\frac{e^{2} + 1}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser integralet ved substitusjon. La

u = x^{2} \Rightarrow \frac{d u}{d x} = 2 x \Rightarrow d u = 2 x d x

Dette betyr at $2 x d x$ i integralet kan byttes direkte ut med $d u$ :

\int 2 x \cdot \sin (x^{2}) d x = \int \sin (u) d u = - \cos (u) + C

Setter tilbake $u = x^{2}$ :

\int 2 x \cdot \sin (x^{2}) d x = - \cos (x^{2}) + C

Vi bruker delvis integrasjon, $\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$ , med

u = \ln x \Rightarrow u^{'} = \frac{1}{x} v^{'} = x \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}

Dette gir

\int_{1}^{e} x \ln x d x = {[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = {[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x

Vi regner ut hvert ledd for seg. Siden $\ln 1 = 0$ og $\ln e = 1$ :

{[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} = \frac{e^{2}}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{e^{2}}{2}

\int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x = {[\frac{x^{2}}{4}]}_{1}^{e} = \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4}

Setter sammen:

\int_{1}^{e} x \ln x d x = \frac{e^{2}}{2} - (\frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2014, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Substitusjon, Delvis integrasjon, Bestemt integral

Innstillinger