Integrasjon tre integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_{- 1}^{1} (2 x^{3} + 3 x - 1) d x

\int \frac{8 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x

\int \frac{2}{(x + 3) (x + 1)} d x

Fasit

$- 2$

$4 \sqrt{2 x^{2} - 1} + C$

$\ln | \frac{x + 1}{x + 3} | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en antiderivert til $2 x^{3} + 3 x - 1$ :

\int (2 x^{3} + 3 x - 1) d x = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} - x + C

Vi setter inn grensene:

\int_{- 1}^{1} (2 x^{3} + 3 x - 1) d x = {[\frac{1}{2} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} - x]}_{- 1}^{1}

= (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1) = 1 - 3 = - 2

Vi bruker substitusjon med $u = 2 x^{2} - 1$ . Da er $\frac{d u}{d x} = 4 x$ , altså $d u = 4 x d x$ , som gir $8 x d x = 2 d u$ .

\int \frac{8 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{2}{\sqrt{u}} d u = 2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u = 2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C = 4 \sqrt{u} + C

Vi setter tilbake $u = 2 x^{2} - 1$ :

\int \frac{8 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x = 4 \sqrt{2 x^{2} - 1} + C

Vi bruker partialbrøkoppspalting:

\frac{2}{(x + 3) (x + 1)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x + 1}

Vi multipliserer med $(x + 3) (x + 1)$ :

2 = A (x + 1) + B (x + 3)

Setter $x = - 1$ : $2 = A \cdot 0 + B \cdot 2 \Rightarrow B = 1$ .

Setter $x = - 3$ : $2 = A \cdot (- 2) + B \cdot 0 \Rightarrow A = - 1$ .

Dermed er

\int \frac{2}{(x + 3) (x + 1)} d x = \int (\frac{- 1}{x + 3} + \frac{1}{x + 1}) d x = - \ln | x + 3 | + \ln | x + 1 | + C

= \ln | \frac{x + 1}{x + 3} | + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon

Innstillinger