Integral og omdreiningslegeme med parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x + a, 0 \leq x \leq 2, a > 0

Bestem $a$ slik at arealet under grafen til $f$ blir 3.

Grafen til $f$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen. Vi får da en rett avkortet kjegle.

Bestem $a$ slik at volumet av den rett avkortede kjeglen blir $\frac{98}{3} π$ .

Fasit

$a = \frac{1}{2}$

$a = 3$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet under grafen til $f$ på $[0,2]$ er gitt ved integralet

\int_{0}^{2} (x + a) d x = {[\frac{x^{2}}{2} + a x]}_{0}^{2} = 2 + 2 a

Vi setter dette lik $3$ :

2 + 2 a = 3

2 a = 1

a = \frac{1}{2}

Når grafen til $f$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen, blir volumet av omdreiningslegemet

V = π \int_{0}^{2} {(x + a)}^{2} d x = π {[\frac{{(x + a)}^{3}}{3}]}_{0}^{2} = π \cdot \frac{{(2 + a)}^{3} - a^{3}}{3}

Vi setter dette lik $\frac{98}{3} π$ :

\frac{{(2 + a)}^{3} - a^{3}}{3} = \frac{98}{3}

{(2 + a)}^{3} - a^{3} = 98

Vi utvider ${(2 + a)}^{3} = a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8$ , slik at

6 a^{2} + 12 a + 8 = 98

6 a^{2} + 12 a - 90 = 0

a^{2} + 2 a - 15 = 0

Dette gir $a = 3$ eller $a = - 5$ . Siden $a > 0$ , forkastes den negative løsningen.

a = 3

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Volum

Innstillinger