Integral med variabelskifte og delbrøkoppspalting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralet $\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x$ ved å bruke

variabelskifte

delbrøkoppspalting

Fasit

$\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \ln | x^{2} - 4 | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $u = x^{2} - 4$ . Da er $\frac{d u}{d x} = 2 x$ , altså $d u = 2 x d x$ .

Legg merke til at telleren $2 x d x$ er nøyaktig $d u$ , så integralet blir

\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \int \frac{1}{u} d u = \ln | u | + C

Vi setter tilbake $u = x^{2} - 4$ :

\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \ln | x^{2} - 4 | + C

Vi faktoriserer nevneren, $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , og skriver brøken som en sum av delbrøker:

\frac{2 x}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

Vi ganger begge sider med $(x - 2) (x + 2)$ :

2 x = A (x + 2) + B (x - 2)

Setter $x = 2$ : $4 = 4 A \Rightarrow A = 1$

Setter $x = - 2$ : $- 4 = - 4 B \Rightarrow B = 1$

Dermed er

\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \int (\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) d x = \ln | x - 2 | + \ln | x + 2 | + C

Vi slår sammen logaritmene med regelen $\ln a + \ln b = \ln (a b)$ :

\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \ln | (x - 2) (x + 2) | + C = \ln | x^{2} - 4 | + C

Vi ser at begge metodene gir samme svar.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En fullgod løsning må ha med $C$ . I oppgave 2 b) godtas $\ln | x + 2 | + \ln | x - 2 | + C$ som fullgodt svar.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Substitusjon, Delvis integrasjon, Rasjonale funksjoner

Innstillinger