Integral med ukjent grense

Bestem $x$ når

\int_{- 1}^{x} (3 t^{2} - 1) d t = 0, x > - 1

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Fasit

$x = 0 \lor x = 1$

Arealet over $x$ -aksen er like stort som arealet under $x$ -aksen i intervallet.

Løsningsforslag

Vi setter opp likningen og løser

\begin{matrix} \int_{- 1}^{x} (3 t^{2} - 1) d t & = 0 \\ {[t^{3} - t]}_{- 1}^{x} & = 0 \\ (x^{3} - x) - ({(- 1)}^{3} - (- 1)) & = 0 \\ (x^{3} - x) - (- 1 + 1) & = 0 \\ (x^{3} - x) - 0 & = 0 \\ x^{3} - x & = 0 \\ x (x^{2} - 1) & = 0 \end{matrix}

Denne likningen har tre løsninger: $x = 0 \lor x = - 1 \lor x = 1$ . Vi forkaster løsningen $x = - 1$ siden vi har fått oppgitt at $x > - 1$ i oppgaveteksten.

x = 0 \lor x = 1

Når det bestemte integralet er lik null, er det like mye areal over og under $x$ -aksen.

For $x = 0$ betyr det at arealet over aksen (fra $t = - 1$ til det første nullpunktet) utlignes av arealet under aksen (fra nullpunktet til $t = 0$ ).
For $x = 1$ betyr det at det totale arealet over aksen i intervallet $[- 1, 1]$ er lik arealet under aksen i samme intervall.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Riktig bestemt integral uten å løse likningen kan gi 1 poeng.

En upresis tolkning kan gi 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidaten koble areal til løsningene.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 1b-c
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Likninger, Bestemt integral, Tolkning av integraler
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Integral med ukjent grense

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Integral med ukjent grense

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Integral med ukjent grense

Integral med ukjent grense

Lov på eksamen

Temaer