Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Tabellen nedenfor viser sammenhengende verdier av to størrelser $x$ og $y$ .

$x$	8	11	15	19	23	27	31
$y$	45,3	23,2	9,50	3,89	1,59	0,653	0,267

Du får opplyst at $y$ med god tilnærming kan skrives som en eksponentialfunksjon $f$ .

Krever PC

Bruk regresjon til å finne funksjonsuttrykket $f (x)$ .

En modell for antall insekter i en bestemt populasjon er gitt ved

g (x) = \frac{400000}{2 + f (x)}

der $g (x)$ er antall insekter, og $x$ er antall døgn etter et bestemt tidspunkt.

Krever PC

Tegn grafen til $g$ . Bestem antall insekter når $x = 0$ .

Krever PC

Finn både grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før antall insekter er 100 000.

Krever PC

Bruk grafen til $g$ til å finne en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når $x = 28$ . Hva forteller svaret?

For hånd

Hva nærmer antall insekter seg ifølge modellen når $x$ blir veldig stor?

Fasit

$f (x) = 270,2 \cdot {0,800}^{x}$

$g (0) \approx 1470 insekter$

$x \approx 22 døgn$

$g^{'} (28) \approx 7300 insekter/døgn$

$200 000 insekter$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker digitalt verktøy (regresjon) på punktene i tabellen. Siden $y$ -verdiene avtar mot null uten å bli negative, passer en eksponentiell modell $f (x) = a \cdot b^{x}$ . Eksponentiell regresjon på datapunktene gir

f (x) = 270,2 \cdot {0,800}^{x}

Regresjon: datapunkter og tilpasset eksponentialfunksjon

Kurven går tett gjennom alle de sju punktene i tabellen, så modellen passer svært godt.

Vi setter $f$ inn i uttrykket for $g$ :

g (x) = \frac{400000}{2 + f (x)} = \frac{400000}{2 + 270,2 \cdot {0,800}^{x}}

Grafen til $g$ er tegnet nedenfor, sammen med tangenten i $x = 28$ (oransje), linjen $y = 100 000$ (grønn) og den vannrette asymptoten $y = 200 000$ (grå, stiplet).

Graf til g med markerte punkter for b, c og d

Grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $A = (0, 1469,5)$ , altså

g (0) \approx 1470 insekter

Grafisk: Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til $g$ og linjen $y = 100 000$ . Fra figuren over leser vi av punktet $C \approx (22, 100 000)$ , altså tar det omtrent

x \approx 22 døgn

Ved regning: Vi løser likningen $g (x) = 100 000$ :

\frac{400000}{2 + f (x)} = 100000

2 + f (x) = 4

f (x) = 2

270,2 \cdot {0,800}^{x} = 2

{0,800}^{x} = \frac{2}{270,2} \approx 0,00740

Vi tar $\ln$ på begge sider:

x \cdot \ln (0,800) = \ln (0,00740)

x = \frac{\ln (0,00740)}{\ln (0,800)} \approx 21,99

Dette stemmer godt overens med den grafiske avlesningen. Det tar altså omtrent $22$ døgn før antall insekter er $100 000$ .

Den momentane veksthastigheten i $x = 28$ tilsvarer stigningstallet til tangenten til grafen i punktet $B = (28, 158 564)$ . Vi finner en tilnærmet verdi ved å avlese to punkter på grafen nær $x = 28$ , for eksempel $(25, 132 000)$ og $(31, 176 000)$ , og regne ut stigningstallet til sekanten mellom dem:

g^{'} (28) \approx \frac{176 000 - 132 000}{31 - 25} = \frac{44 000}{6} \approx 7300

Dette stemmer godt med stigningstallet til tangenten (oransje linje) på figuren.

g^{'} (28) \approx 7300 insekter/døgn

Svaret forteller at etter $28$ døgn øker antall insekter i populasjonen med omtrent $7300$ insekter per døgn på det tidspunktet.

Når $x$ blir veldig stor, går ${0,800}^{x}$ mot $0$ fordi $0 < 0,800 < 1$ . Dermed går $f (x)$ mot $0$ , og

g (x) = \frac{400000}{2 + f (x)} \to \frac{400000}{2 + 0} = 200 000

Ifølge modellen vil altså antall insekter i populasjonen nærme seg en øvre grense på

200 000 insekter

Dette samsvarer med den vannrette asymptoten $y = 200 000$ på grafen.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2009, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Vekstfart

Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer