Influensaepidemi og logistisk vekst

En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1000 elever. I starten er det få smittede, men antallet øker raskt. Antallet smittede elever $S(t)$ etter $t$ dager er tilnærmet gitt ved

S(t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}}.

Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?

På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?

Undersøk om $S$ har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.

Fasit

$\underline{\underline{t \approx 8{,}80 \mathrm{~dager}}}$

$\underline{\underline{t \approx 11{,}11 \mathrm{~dager}}}$ , maks smittehastighet $\underline{\underline{S'(t) = 22{,}5 \mathrm{~elever/dag}}}$

Horisontal asymptote $y = 0$ og $y = 300$ . Praktisk tolkning: maksimalt 300 elever (30 % av skolen) smittes ifølge modellen.

LøsningsforslagKI-generert

Logistisk vekstkurve for influensaepidemi

Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 100$ .

Vi setter opp likningen og løser i GeoGebra CAS (se linje 2):

\frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}} = 100

GeoGebra CAS

Vi kan også løse algebraisk:

\begin{aligned} 1 + 28 e^{-0{,}3t} &= 3 \\ 28 e^{-0{,}3t} &= 2 \\ e^{-0{,}3t} &= \frac{1}{14} \\ -0{,}3t &= \ln\!\left(\frac{1}{14}\right) = -\ln 14 \\ t &= \frac{\ln 14}{0{,}3} \approx 8{,}80 \end{aligned}

Det tar omtrent $\underline{\underline{8{,}80 \mathrm{~dager}}}$ før 100 elever er smittet.

For en logistisk funksjon $S(t) = \dfrac{K}{1 + A \cdot e^{-rt}}$ er vekstraten størst når $S = \dfrac{K}{2}$ .

Her er $K = 300$ , så maks veksthastighet inntreffer når $S = 150$ .

Vi setter $S(t) = 150$ :

\begin{aligned} 1 + 28 e^{-0{,}3t} &= 2 \\ e^{-0{,}3t} &= \frac{1}{28} \\ t &= \frac{\ln 28}{0{,}3} \approx 11{,}11 \end{aligned}

Maks veksthastighet kan beregnes med formelen $S'_{\max} = \dfrac{r \cdot K}{4}$ (se linje 4 i CAS):

S'_{\max} = \frac{0{,}3 \cdot 300}{4} = \frac{90}{4} = 22{,}5

Flest elever smittes rundt dag $\underline{\underline{11{,}11}}$ , og smittehastigheten er da $\underline{\underline{22{,}5 \mathrm{~elever/dag}}}$ .

En horisontal asymptote er en verdi som $S(t)$ nærmer seg, men aldri når, når $t \to \pm\infty$ .

Når $t \to +\infty$ : $e^{-0{,}3t} \to 0$ , slik at

S(t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}} \to \frac{300}{1 + 0} = 300

Horisontal asymptote: $y = 300$ (se grønn linje i figuren).

Når $t \to -\infty$ : $e^{-0{,}3t} \to +\infty$ , slik at

S(t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}} \to \frac{300}{\infty} = 0

Horisontal asymptote: $y = 0$ .

Praktisk tolkning:

Asymptoten $y = 0$ beskriver situasjonen før epidemien begynte — ingen er smittet i starten (når $t \to -\infty$ i matematisk forstand).
Asymptoten $y = 300$ betyr at maks 300 av skolens 1000 elever smittes ifølge modellen. Det tilsvarer 30 % av elevene. Smitten stopper altså av seg selv før hele skolen er rammet.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, derivasjon, asymptoter, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon