Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P (n) : \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3}, n \in ℕ

Husk å skrive forklarende kommentarer til beviset ditt.

Fasit

Bevist ved induksjon, se løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at påstanden

P (n) : \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3}

er sann for alle $n \in ℕ$ , ved induksjon.

Steg 1: Basissteg.

Vi sjekker at $P (1)$ er sann. Venstre side (summen med bare ett ledd, $i = 1$ ):

\sum_{i = 1}^{1} {(2 i - 1)}^{2} = {(2 \cdot 1 - 1)}^{2} = 1^{2} = 1

Høyre side:

\frac{1 \cdot (2 \cdot 1 - 1) (2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1

Siden begge sider er like, er $P (1)$ sann.

Steg 2: Induksjonssteget.

Vi antar at $P (k)$ er sann for et vilkårlig naturlig tall $k$ , altså at

\sum_{i = 1}^{k} {(2 i - 1)}^{2} = \frac{k (2 k - 1) (2 k + 1)}{3} (induksjonsantagelsen)

Vi skal vise at da må også $P (k + 1)$ være sann, altså at

\sum_{i = 1}^{k + 1} {(2 i - 1)}^{2} = \frac{(k + 1) (2 (k + 1) - 1) (2 (k + 1) + 1)}{3} = \frac{(k + 1) (2 k + 1) (2 k + 3)}{3}

Vi starter med venstre side av $P (k + 1)$ og splitter ut det siste leddet:

\sum_{i = 1}^{k + 1} {(2 i - 1)}^{2} = \sum_{i = 1}^{k} {(2 i - 1)}^{2} + {(2 (k + 1) - 1)}^{2}

Bruker induksjonsantagelsen på det første leddet:

= \frac{k (2 k - 1) (2 k + 1)}{3} + {(2 k + 1)}^{2}

Faktoriserer ut $(2 k + 1)$ og setter på felles brøkstrek:

= (2 k + 1) [\frac{k (2 k - 1)}{3} + (2 k + 1)] = (2 k + 1) \cdot \frac{k (2 k - 1) + 3 (2 k + 1)}{3}

Vi forenkler telleren i parentesen:

k (2 k - 1) + 3 (2 k + 1) = 2 k^{2} - k + 6 k + 3 = 2 k^{2} + 5 k + 3

Dette andregradsuttrykket faktoriseres som

2 k^{2} + 5 k + 3 = (2 k + 3) (k + 1)

Setter vi dette inn igjen, får vi

\sum_{i = 1}^{k + 1} {(2 i - 1)}^{2} = \frac{(2 k + 1) (2 k + 3) (k + 1)}{3} = \frac{(k + 1) (2 k + 1) (2 k + 3)}{3}

Dette er nøyaktig uttrykket for $P (k + 1)$ . Altså har vi vist at

P (k) \Rightarrow P (k + 1)

Steg 3: Konklusjon.

Siden $P (1)$ er sann, og siden $P (k)$ medfører $P (k + 1)$ for alle $k \in ℕ$ , følger det av induksjonsprinsippet at $P (n)$ er sann for alle $n \in ℕ$ .

\sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3} for alle n \in ℕ ■

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2020, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Bevis, Rekker

Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Induksjonsbevis for sum av odde kvadrater

Lov på eksamen

Temaer