Vi skriver summen $S_n=1+2+\cdots +n$ både forlengs og baklengs under hverandre og legger sammen ledd for ledd:

Hvert par av ledd som legges sammen loddrett, gir summen $n+1$, og det er $n$ slike par. Dermed er

$\underline{\underline{\text{Vist.}}}$

For $n=8$:

Kontrollert i GeoGebra CAS: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{8}k=36}$ (se r2-v10-2-6II-losning.png).

$\underline{\underline{S_8=36}}$

Vi bruker GeoGebra CAS til å summere $s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3}$ for økende $n$ til summen overstiger $15000$:

Summen av de $15$ første leddene er mindre enn $15000$, mens summen av de $16$ første leddene er større enn $15000$.

$\underline{\underline{n=16\text{ ledd trengs for at summen skal overstige }15000}}$

Vi skal bevise ved induksjon at

Steg 1 — Basissteg. For $n=1$ er venstresiden $1^3=1$, og høyresiden er

Venstre- og høyresiden er like, så påstanden stemmer for $n=1$.

Steg 2 — Induksjonssteg. Vi antar at påstanden er sann for $n=m$, altså at

Vi skal vise at påstanden da også er sann for $n=m+1$. Vi legger til ${(m+1)}^3$ på begge sider:

Vi faktoriserer ut ${(m+1)}^2$ på høyresiden:

Dette kan skrives som

som er nøyaktig formelen for $n=m+1$. Dermed er påstanden sann for $n=m+1$ dersom den er sann for $n=m$.

Konklusjon. Siden påstanden stemmer for $n=1$, og siden den stemmer for $n=m+1$ hver gang den stemmer for $n=m$, følger det av induksjonsprinsippet at

for alle naturlige tall $n\ge 1$.

$\underline{\underline{\text{Vist ved induksjon.}}}$

Fra a) vet vi at

Dermed er

Fra c) vet vi at høyresiden også er lik $1^3+2^3+\cdots +n^3$. Altså er

$\underline{\underline{\text{Vist: summen av kubikktallene er lik kvadratet av summen av tallene.}}}$