Induksjonsbevis for sum av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P (n) : a + a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n - 1} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}, n \in ℕ

Fasit

$P (n) er bevist ved induksjon$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal vise at

P (n) : a + a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n - 1} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}, n \in ℕ

Basissteg: Vi sjekker at $P (1)$ er sann. Venstre side har da bare ett ledd:

VS = a

HS = a \cdot \frac{k^{1} - 1}{k - 1} = a \cdot \frac{k - 1}{k - 1} = a

Siden $VS = HS$ , er $P (1)$ sann.

Induksjonssteg: Vi antar at $P (n)$ er sann for et vilkårlig $n \in ℕ$ , altså at

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}

Vi skal vise at da må også $P (n + 1)$ være sann, det vil si at

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} + a k^{n} = a \cdot \frac{k^{n + 1} - 1}{k - 1}

Vi tar utgangspunkt i venstre side av $P (n + 1)$ og bruker induksjonsantagelsen på de $n$ første leddene:

\underset{= a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}}{\underset{⏟}{a + a k + \dots + a k^{n - 1}}} + a k^{n} = a \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} + a k^{n}

Vi setter på felles brøkstrek:

= \frac{a (k^{n} - 1) + a k^{n} (k - 1)}{k - 1} = \frac{a k^{n} - a + a k^{n + 1} - a k^{n}}{k - 1} = \frac{a k^{n + 1} - a}{k - 1} = a \cdot \frac{k^{n + 1} - 1}{k - 1}

Dette er nettopp høyre side av $P (n + 1)$ , så $P (n + 1)$ er sann når $P (n)$ er sann.

Konklusjon: Siden $P (1)$ er sann, og $P (n)$ sann medfører at $P (n + 1)$ er sann, er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Geometrisk rekke, Bevis

Innstillinger