Der $f$ har et ekstremalpunkt (horisontal tangent), skal $f^{\prime }$ være null, og fortegnet til $f^{\prime }$ skal stemme med om $f$ vokser eller avtar. Dette bruker vi til å avgjøre hvilken graf som er $f$ og hvilken som er $f^{\prime }$.

Graf $\text{A}$ har ett bunnpunkt i det viste området: den avtar fra $x=-4$ og ned til et bunnpunkt omkring $x\approx \mathrm{0,3}$, og vokser deretter. Graf $\text{B}$ krysser $x$-aksen akkurat én gang i det viste området, omtrent ved $x\approx \mathrm{0,2}$, og skifter fortegn fra negativ til positiv der.

Dette stemmer med at $\text{B}=f^{\prime }$: $f^{\prime }$ er negativ der $f$ avtar (for $x<\mathrm{0,3}$), null i bunnpunktet til $f$ ($x\approx \mathrm{0,3}$), og positiv der $f$ vokser (for $x>\mathrm{0,3}$).

Vi kan også sjekke at det ikke kan være omvendt: Hvis A skulle vært $f^{\prime }$, måtte B (som $f$) hatt ekstremalpunkter akkurat der A krysser $x$-aksen, altså ved $x\approx -\mathrm{0,8}$ og $x\approx \mathrm{0,7}$. Men graf B har ikke noe ekstremalpunkt ved $x\approx \mathrm{0,7}$ — der vokser B fortsatt raskt. Dette stemmer altså ikke.

Konklusjon: graf A er $f$, og graf B er $f^{\prime }$.

Siden $f^{\prime \prime }$ er den deriverte av $f^{\prime }$ (graf B), er $f^{\prime \prime }(x)=0$ nøyaktig der $f^{\prime }$ har ekstremalpunkter, og fortegnet til $f^{\prime \prime }$ følger av om $f^{\prime }$ vokser eller avtar. Graf B avtar fra $x=-4$ ned til et bunnpunkt omkring $x\approx -1$, og vokser deretter:

• For $x<-1$: $f^{\prime }$ (graf B) avtar $\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)<0$
• For $x>-1$: $f^{\prime }$ (graf B) vokser $\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)>0$

Fortegnslinje for $f^{\prime \prime }$:

I dette området har $f$ dermed ett vendepunkt, omtrent ved $x\approx -1$ (der $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn). Grafen til $f$ vender den hule siden ned for $x<-1$ og den hule siden opp for $x>-1$.