Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor er $A C B$ en halvsirkel med sentrum i $O$ , og $A E C$ er en halvsirkel med sentrum i $D$ . $∠ C A B = ∠ A B C = 45 °$

Hippokrates-månen med halvsirkler og trekant

Konstruer figuren nedenfor når du setter $r = 5,0 cm$ . Ta med konstruksjonsforklaring.

På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge.

Vis ved regning at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av $△ A O C$ når radien i halvsirkelen $A C B$ er $r$ .

Fasit

Konstruksjon, se løsningsforslag.

$Arealet av Hippokrates-månen = arealet av △ A O C = \frac{1}{2} r^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $A B$ er diameter i halvsirkelen $A C B$ (sentrum $O$ ), er $∠ A C B = 90 °$ (Thales’ setning). Når i tillegg $∠ C A B = ∠ A B C = 45 °$ , ligger $C$ rett over $O$ , slik at $∠ A O C = 90 °$ . Dette gir en enkel konstruksjon:

Tegn linjestykket $A B = 2 r = 10,0 cm$ .
Konstruer midtpunktet $O$ på $A B$ : sett passeren i $A$ med radius større enn $\frac{1}{2} A B$ , slå en bue over og under $A B$ . Gjør det samme fra $B$ med samme radius. De to skjæringspunktene forbindes med en rett linje — denne midtnormalen skjærer $A B$ i $O$ .
Sett passeren i $O$ med radius $r = 5,0 cm$ og tegn halvsirkelen fra $A$ til $B$ (over $A B$ ) — dette er halvsirkelen $A C B$ .
Midtnormalen fra punkt 2 står allerede vinkelrett på $A B$ gjennom $O$ . Der denne linja skjærer halvsirkelen $A C B$ , får vi punktet $C$ (toppunktet av halvsirkelen).
Tegn $A C$ og $C B$ — dette gir $△ A C B$ med rett vinkel i $C$ og $∠ A = ∠ B = 45 °$ .
Konstruer midtpunktet $D$ på $A C$ på samme måte som i punkt 2 (midtnormal på $A C$ ).
Sett passeren i $D$ med radius $D A = D C$ og tegn halvsirkelen fra $A$ til $C$ , utover (bort fra $B$ ) — dette er halvsirkelen $A E C$ .
Hippokrates-månen er området mellom halvsirkelen $A E C$ og buen $A C$ på halvsirkelen $A C B$ .

Ferdig konstruksjon av Hippokrates-månen med r = 5

Vi setter $O A = O C = r$ (radiene i halvsirkelen $A C B$ ).

Vinkelen $∠ A O C$ : Den innskrevne vinkelen $∠ A B C = 45 °$ ligger på buen $A C$ (som ikke inneholder $B$ ). Sentralvinkelen $∠ A O C$ som hører til samme bue, er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen:

∠ A O C = 2 \cdot 45 ° = 90 °

Lengden $A C$ : I $△ A O C$ er $O A = O C = r$ og $∠ A O C = 90 °$ , så etter Pytagoras:

A C = \sqrt{r^{2} + r^{2}} = r \sqrt{2}

Arealet av $△ A O C$ :

T_{A O C} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O C \cdot \sin (∠ A O C) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 90 ° = \frac{1}{2} r^{2}

Arealet av sirkelsektoren $A O C$ (sentralvinkel $90 °$ i sirkelen med radius $r$ ):

T_{sektor} = \frac{90 °}{360 °} \cdot π r^{2} = \frac{π r^{2}}{4}

Arealet av sirkelsegmentet mellom korden $A C$ og buen $A C$ (den delen av sektoren som ligger utenfor trekanten):

T_{segment} = T_{sektor} - T_{A O C} = \frac{π r^{2}}{4} - \frac{r^{2}}{2}

Arealet av halvsirkelen $A E C$ , som har diameter $A C = r \sqrt{2}$ , altså radius $\frac{r \sqrt{2}}{2}$ :

T_{A E C} = \frac{1}{2} π {(\frac{r \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{2 r^{2}}{4} = \frac{π r^{2}}{4}

Arealet av Hippokrates-månen er halvsirkelen $A E C$ minus sirkelsegmentet (den delen av halvsirkelen $A E C$ som ligger utenfor halvsirkelen $A C B$ , er nettopp månen):

T_{måne} = T_{A E C} - T_{segment} = \frac{π r^{2}}{4} - (\frac{π r^{2}}{4} - \frac{r^{2}}{2}) = \frac{r^{2}}{2}

Siden $T_{A O C} = \frac{r^{2}}{2}$ også, har vi vist at

T_{måne} = T_{A O C} = \frac{1}{2} r^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Beregning av arealene ved å benytte $r = 5,0$ cm kan gi noe uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2013, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Areal og omkrets, Konstruksjon, Sirkel

Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Hippokrates-månen konstruksjon og arealbevis

Lov på eksamen

Temaer