Hill-funksjon og metningsgrad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I lungene blir oksygen bundet til hemoglobin og transportert rundt i kroppen av blodet. Hemoglobinet er mettet når det ikke er i stand til å ta opp mer oksygen.

Den engelske fysiologen A. V. Hill oppdaget i 1910 en sammenheng mellom deltrykket til oksygenet i lungene og metningsgraden $g$ .

Han fant at under visse forhold er

g (x) = \frac{x^{3}}{x^{3} + 25000}, x > 0

Her er deltrykket $x$ målt i mmHg (millimeter kvikksølv).

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $g$ .

Kalkulator

Bestem grafisk hva deltrykket $x$ må være for at metningsgraden $g (x)$ skal være større enn $0,8$ .

For hånd

Bruk derivasjon til å vise at metningsgraden øker dersom deltrykket øker. Forklar.

Fasit

Se graf under.

$x > 46,4$ mmHg

$g^{'} (x) > 0$ for alle $x > 0$ — se løsning under.

LøsningsforslagKI-generert

Graf av Hill-funksjonen g(x)

Grafen starter i $(0, 0)$ , stiger raskt i S-form og nærmer seg $y = 1$ asymptotisk når $x \to \infty$ .

Vi leser av grafen der $g (x) = 0,8$ . Fra grafen ser vi at skjæringspunktet mellom $g$ og linjen $y = 0,8$ er ved $x \approx 46,4$ .

Vi kan bekrefte dette algebraisk:

\frac{x^{3}}{x^{3} + 25000} = 0,8

x^{3} = 0,8 \cdot (x^{3} + 25000)

x^{3} = 0,8 x^{3} + 20000

0,2 x^{3} = 20000

x^{3} = 100000

x = \sqrt[3]{100000} \approx 46,4

Metningsgraden $g (x) > 0,8$ når deltrykket $x > 46,4$ mmHg.

Vi deriverer $g (x) = \frac{x^{3}}{x^{3} + 25000}$ med kvotientregelen:

g^{'} (x) = \frac{3 x^{2} \cdot (x^{3} + 25000) - x^{3} \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} + 25000)}^{2}}

g^{'} (x) = \frac{3 x^{2} (x^{3} + 25000) - 3 x^{5}}{{(x^{3} + 25000)}^{2}}

g^{'} (x) = \frac{3 x^{5} + 75000 x^{2} - 3 x^{5}}{{(x^{3} + 25000)}^{2}}

g^{'} (x) = \frac{75000 x^{2}}{{(x^{3} + 25000)}^{2}}

For alle $x > 0$ er:

telleren $75000 x^{2} > 0$
nevneren ${(x^{3} + 25000)}^{2} > 0$

Dermed er $g^{'} (x) > 0$ for alle $x > 0$ .

Dette betyr at $g$ er strengt voksende for $x > 0$ , det vil si at metningsgraden øker når deltrykket øker.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En graftegning uten bruk av graftegner på datamaskin gir maksimalt 1 poeng.

For å få full uttelling, må kandidaten skrive at $x$ må være større enn 46,4 mm Hg.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Modellering

Hill-funksjon og metningsgrad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hill-funksjon og metningsgrad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hill-funksjon og metningsgrad

Hill-funksjon og metningsgrad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer