Harens fart og gjennomsnittsfart

En hare løper vekk fra en rev som angriper den. Farten $v$ til haren er gitt ved

v(t) = 8{,}3 - 17{,}4 \cdot e^{-5t} + 9{,}1 \cdot e^{-0{,}08t}

Her er $v$ meter per sekund, og $t$ er antall sekunder etter at haren starter å løpe.

Hvor lang tid vil det gå før akselerasjonen til haren er null? Hva forteller dette svaret?

Hvor langt løper haren i løpet av de første 7 sekundene?

Gjennomsnittsfarten $v_g$ til haren de første $x$ sekundene er gitt ved

v_g(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} v(t) \, \mathrm{d}t

Bestem gjennomsnittsfarten til haren de første 200 meterne.

Fasit

Akselerasjonen er null etter $\underline{\underline{t \approx 0{,}97 \, \mathrm{s}}}$ . Dette er tidspunktet der haren har størst fart: $v(0{,}97) \approx \underline{\underline{16{,}6 \, \mathrm{m/s}}}$ .

$\underline{\underline{s \approx 103{,}4 \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{v_g \approx 13{,}4 \, \mathrm{m/s}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS med numerisk evaluering.

Definer $v(t)$ og finn akselerasjonen $a(t) = v'(t)$ , løs $a(t) = 0$ , beregn integralet over $[0, 7]$ , og løs $\int_0^x v(t)\,\mathrm{d}t = 200$ numerisk:

GeoGebra CAS – harens fart og gjennomsnittsfart

Vi definerer $v(t)$ og deriverer for å finne akselerasjonen:

a(t) = v'(t) = 87 \cdot e^{-5t} - 0{,}728 \cdot e^{-0{,}08t}

GeoGebra løser $a(t) = 0$ numerisk og gir $t \approx 0{,}972 \, \mathrm{s}$ .

Det tar omtrent $\underline{\underline{t \approx 0{,}97 \, \mathrm{s}}}$ før akselerasjonen er null.

Tolkning: For $t < 0{,}97$ er $a(t) > 0$ , haren øker farten. For $t > 0{,}97$ er $a(t) < 0$ , haren bremser ned. Tidspunktet $t \approx 0{,}97$ er altså når haren har sin høyeste fart: $v(0{,}972) \approx \underline{\underline{16{,}6 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Strekningen haren løper i løpet av de første 7 sekundene er

s = \int_0^7 v(t) \, \mathrm{d}t

GeoGebra beregner integralet numerisk:

s \approx \underline{\underline{103{,}4 \, \mathrm{m}}}

Vi søker $x$ slik at gjennomsnittsfarten de første $x$ sekundene er lik $\frac{200}{x}$ , altså slik at haren har tilbakelagt nettopp 200 meter:

\int_0^x v(t) \, \mathrm{d}t = 200

Antideriverte til $v(t)$ er

V(t) = 8{,}3t + 3{,}48 \cdot e^{-5t} - 113{,}75 \cdot e^{-0{,}08t}

GeoGebra løser likningen $V(x) - V(0) = 200$ numerisk og gir (den positive løsningen) $x \approx 14{,}954 \, \mathrm{s}$ .

Gjennomsnittsfarten de første 200 meterne er dermed

v_g = \frac{200}{x} \approx \frac{200}{14{,}954} \approx \underline{\underline{13{,}4 \, \mathrm{m/s}}}

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å finne svaret og 1 poeng for å forklare svaret.

2 poeng

En god tilnærming kan gi 1 poeng.

2 poeng

En god strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: integral, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner