Harens fart og gjennomsnittsfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En hare løper vekk fra en rev som angriper den. Farten $v$ til haren er gitt ved

v (t) = 8,3 - 17,4 \cdot e^{- 5 t} + 9,1 \cdot e^{- 0,08 t}

Her er $v$ meter per sekund, og $t$ er antall sekunder etter at haren starter å løpe.

Kalkulator

Hvor lang tid vil det gå før akselerasjonen til haren er null? Hva forteller dette svaret?

Kalkulator

Hvor langt løper haren i løpet av de første 7 sekundene?

Gjennomsnittsfarten $v_{g}$ til haren de første $x$ sekundene er gitt ved

v_{g} (x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} v (t) d t

Oppsett for hånd

Bestem gjennomsnittsfarten til haren de første 200 meterne.

Fasit

Akselerasjonen er null etter $t \approx 0,97 s$ . Dette er tidspunktet der haren har størst fart: $v (0,97) \approx 16,6 m / s$ .

$s \approx 103,4 m$

$v_{g} \approx 13,4 m / s$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS med numerisk evaluering.

Definer $v (t)$ og finn akselerasjonen $a (t) = v^{'} (t)$ , løs $a (t) = 0$ , beregn integralet over $[0, 7]$ , og løs $\int_{0}^{x} v (t) d t = 200$ numerisk:

GeoGebra CAS – harens fart og gjennomsnittsfart

Vi definerer $v (t)$ og deriverer for å finne akselerasjonen:

a (t) = v^{'} (t) = 87 \cdot e^{- 5 t} - 0,728 \cdot e^{- 0,08 t}

GeoGebra løser $a (t) = 0$ numerisk og gir $t \approx 0,972 s$ .

Det tar omtrent $t \approx 0,97 s$ før akselerasjonen er null.

Tolkning: For $t < 0,97$ er $a (t) > 0$ , haren øker farten. For $t > 0,97$ er $a (t) < 0$ , haren bremser ned. Tidspunktet $t \approx 0,97$ er altså når haren har sin høyeste fart: $v (0,972) \approx 16,6 m / s$ .

Strekningen haren løper i løpet av de første 7 sekundene er

s = \int_{0}^{7} v (t) d t

GeoGebra beregner integralet numerisk:

s \approx 103,4 m

Vi søker $x$ slik at gjennomsnittsfarten de første $x$ sekundene er lik $\frac{200}{x}$ , altså slik at haren har tilbakelagt nettopp 200 meter:

\int_{0}^{x} v (t) d t = 200

Antideriverte til $v (t)$ er

V (t) = 8,3 t + 3,48 \cdot e^{- 5 t} - 113,75 \cdot e^{- 0,08 t}

GeoGebra løser likningen $V (x) - V (0) = 200$ numerisk og gir (den positive løsningen) $x \approx 14,954 s$ .

Gjennomsnittsfarten de første 200 meterne er dermed

v_{g} = \frac{200}{x} \approx \frac{200}{14,954} \approx 13,4 m / s

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å finne svaret og 1 poeng for å forklare svaret.

En god tilnærming kan gi 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Derivasjon, Modellering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Harens fart og gjennomsnittsfart

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Harens fart og gjennomsnittsfart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Harens fart og gjennomsnittsfart

Harens fart og gjennomsnittsfart

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer