Harebestand med logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En modell for antall harer innenfor et lukket område er gitt ved

N (t) = 700 - C \cdot e^{- k t}

der $t$ er antall år etter at tellingene begynte, og $k > 0$ .

Ved to tellinger fant man ut at $N (0) = 400$ og $N (5) = 600$ .

Kalkulator

Bruk resultatet av de to tellingene til å vise at $C = 300$ og $k \approx 0,22$

Kalkulator

Finn ved regning hvor lang tid det tar før det er 650 harer i området.

Kalkulator

Tegn grafen til $N$ . Hvor mange harer vil det være i området når det har gått lang tid?

Kalkulator

Bruk blant annet kjerneregelen til å bestemme $N^{'} (5)$ . Hva forteller svaret oss?

Fasit

$C = 300$ , $k = \frac{\ln 3}{5} \approx 0,22$

$t \approx 8,1 år$

$700 h a r e r$ (horisontal asymptote $N = 700$ )

$N^{'} (5) \approx 22 harer per år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $N (0) = 400$ :

N (0) = 700 - C \cdot e^{0} = 700 - C = 400

C = 300

Vi setter inn $N (5) = 600$ med $C = 300$ :

700 - 300 \cdot e^{- 5 k} = 600

300 \cdot e^{- 5 k} = 100

e^{- 5 k} = \frac{1}{3}

- 5 k = \ln (\frac{1}{3}) = - \ln 3

k = \frac{\ln 3}{5} \approx \frac{1,099}{5} \approx 0,22

Vi har vist at $C = 300$ og $k \approx 0,22$ .

Vi løser $N (t) = 650$ med GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – løser N(t) = 650

CAS gir $t \approx 8,14$ .

Det tar omtrent $8,1 år$ før det er 650 harer i området.

Alternativt for hånd:

700 - 300 \cdot e^{- 0,22 t} = 650

300 \cdot e^{- 0,22 t} = 50

e^{- 0,22 t} = \frac{1}{6}

t = \frac{\ln 6}{0,22} \approx \frac{1,792}{0,22} \approx 8,1

Grafen til $N (t) = 700 - 300 \cdot e^{- 0,22 t}$ er tegnet i GeoGebra:

Graf av N(t) = 700 – 300·e^(–0,22t)

Når $t \to \infty$ går $e^{- 0,22 t} \to 0$ , og dermed $N (t) \to 700$ .

Grafen har en horisontal asymptote $N = 700$ .

Når det har gått lang tid, vil det være $700 h a r e r$ i området.

Vi deriverer $N (t) = 700 - 300 \cdot e^{- 0,22 t}$ med kjerneregelen.

La $u = - 0,22 t$ , slik at $N = 700 - 300 \cdot e^{u}$ . Da er $u^{'} = - 0,22$ og ${(e^{u})}^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$ :

N^{'} (t) = - 300 \cdot e^{- 0,22 t} \cdot (- 0,22) = 66 \cdot e^{- 0,22 t}

GeoGebra CAS bekrefter dette (se CAS-skjermbilde ovenfor, linje 3–4).

Vi regner ut $N^{'} (5)$ :

N^{'} (5) = 66 \cdot e^{- 0,22 \cdot 5} = 66 \cdot e^{- 1,1} \approx 66 \cdot 0,333 \approx 22

$N^{'} (5) \approx 22 harer per år$

Dette betyr at harebestanden øker med omtrent 22 harer per år etter 5 år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Oppgaven kan løses ved hjelp av CAS dersom riktig likning er satt opp.

Her er det nok at eksaminanden bruker grafen til å argumentere for svaret.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2011, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Modellering, Logistisk vekst

Harebestand med logistisk modell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Harebestand med logistisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Harebestand med logistisk modell

Harebestand med logistisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer