Halvsirkler på sidene i rettvinklet trekant med AB 8 og BC 10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant ABC med grønn halvsirkel på AC, blå halvsirkel på AB og grå halvsirkel på BC

Gitt $△ A B C$ slik at $A B = 8$ og $B C = 10$ . Se figuren ovenfor.

Vis at arealet av den grønne og den blå halvsirkelen til sammen er like stort som arealet av den grå halvsirkelen.

Fasit

$A C = 6$ , og arealet av den blå og den grønne halvsirkelen til sammen er $12,5 π \approx 39,3$ , som er akkurat like stort som arealet av den grå halvsirkelen.

LøsningsforslagKI-generert

Finner lengden $A C$

Trekanten $A B C$ er rettvinklet i hjørne $A$ , siden $B C$ er den lengste siden (hypotenusen) og dermed ligger rett overfor det rette hjørnet. Vi bruker Pytagoras-setningen med $B C$ som hypotenus:

\begin{matrix} B C^{2} & = A B^{2} + A C^{2} \\ 10^{2} & = 8^{2} + A C^{2} \\ 100 & = 64 + A C^{2} \\ A C^{2} & = 100 - 64 \\ A C^{2} & = 36 \\ A C & = \sqrt{36} = 6 \end{matrix}

Finner arealet av de tre halvsirklene

En halvsirkel med diameter $d$ har radius $r = \frac{d}{2}$ , og arealet er halvparten av arealet til en hel sirkel:

A_{halvsirkel} = \frac{π r^{2}}{2}

Den blå halvsirkelen har diameter $A B = 8$ , altså radius $r = 4$ :

A_{blå} = \frac{π \cdot 4^{2}}{2} = \frac{16 π}{2} = 8 π \approx 25,1

Den grønne halvsirkelen har diameter $A C = 6$ , altså radius $r = 3$ :

A_{grønn} = \frac{π \cdot 3^{2}}{2} = \frac{9 π}{2} = 4,5 π \approx 14,1

Den grå halvsirkelen har diameter $B C = 10$ , altså radius $r = 5$ :

A_{grå} = \frac{π \cdot 5^{2}}{2} = \frac{25 π}{2} = 12,5 π \approx 39,3

Sammenligner summen

Vi legger sammen arealet av den blå og den grønne halvsirkelen:

A_{blå} + A_{grønn} = 8 π + 4,5 π = 12,5 π

Dette er nøyaktig det samme som arealet av den grå halvsirkelen, $12,5 π$ . Vi har dermed vist at:

A_{blå} + A_{grønn} = A_{grå}

Grunnen til at dette alltid vil stemme for en rettvinklet trekant, er at Pytagoras-setningen sier at $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ . Siden arealet av hver halvsirkel er sidelengden i andre potens multiplisert med samme tall ( $\frac{π}{8}$ ), vil summen av arealene på katetene alltid bli lik arealet på hypotenusen.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2016, del 1, oppgave 10
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Pytagoras, Areal og omkrets, Sirkel, Argumentasjon

Halvsirkler på sidene i rettvinklet trekant med AB 8 og BC 10

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Halvsirkler på sidene i rettvinklet trekant med AB 8 og BC 10

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Halvsirkler på sidene i rettvinklet trekant med AB 8 og BC 10

Halvsirkler på sidene i rettvinklet trekant med AB 8 og BC 10

Lov på eksamen

Temaer