Funksjonen $f(x)=x^2-2$ har to nullpunkter, siden $x^2-2=0$ gir $x=\pm \sqrt{2}\approx \pm \mathrm{1,4142}$.

Programmet lar $a$ løpe fra $-2$ til $2$ i steg på $e=\mathrm{0,01}$. For hver verdi av $a$ sjekker programmet fortegnet til produktet $f(a)\cdot f(a+e)$. Hvis $f(a)$ og $f(a+e)$ har motsatt fortegn, er produktet negativt, og det betyr at grafen til $f$ krysser $x$-aksen et sted mellom $a$ og $a+e$ — altså at intervallet inneholder et nullpunkt.

Siden $-\sqrt{2}\approx -\mathrm{1,4142}$ og $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,4142}$, vil nøyaktig ett av intervallene $[a,a+e]$ inneholde $-\sqrt{2}$, og ett annet intervall inneholde $\sqrt{2}$, når $a$ løper gjennom verdiene $-2,-\mathrm{1,99},-\mathrm{1,98},\dots ,\mathrm{1,99}$. I alle andre intervaller har $f(a)$ og $f(a+e)$ samme fortegn, og produktet blir positivt.

Dette betyr at testen $f(a)\cdot f(a+e)\le 0$ blir sann nøyaktig to ganger under kjøringen — én gang nær $x=-\mathrm{1,41}$ og én gang nær $x=\mathrm{1,41}$. Programmet skriver derfor ut

Jeg har funnet et nullpunkt.

to ganger totalt.

For å finne nullpunktene med fire desimalers nøyaktighet, kan vi bruke halveringsmetoden: når vi har funnet et lite intervall $[a,a+e]$ som inneholder et nullpunkt, halverer vi intervallet gjentatte ganger og beholder hver gang den halvdelen der $f$ fortsatt skifter fortegn, helt til intervallet er smalt nok.

def f(x):              # Definerer funksjonen f(x) = x^2 - 2
    return x ** 2 - 2

a = -2
e = 0.01

while a < 2:

    if f(a) * f(a + e) <= 0:
        # Halveringsmetoden: finner nullpunktet mer nøyaktig
        # innenfor intervallet [a, a + e]
        venstre = a
        hoyre = a + e

        while hoyre - venstre > 0.0001:
            midtpunkt = (venstre + hoyre) / 2
            if f(venstre) * f(midtpunkt) <= 0:
                hoyre = midtpunkt
            else:
                venstre = midtpunkt

        nullpunkt = (venstre + hoyre) / 2
        print(f"Jeg har funnet et nullpunkt: x = {nullpunkt:.4f}")

    a = a + e

Den indre while-løkken halverer intervallet $[venstre,hoyre]$ helt til bredden er mindre enn $\mathrm{0,0001}$, som garanterer fire desimalers nøyaktighet. Midtpunktet av det gjenværende intervallet brukes som tilnærming til nullpunktet.

Kjøres programmet, gir det utskriften

Jeg har funnet et nullpunkt: x = -1.4142
Jeg har funnet et nullpunkt: x = 1.4142

som stemmer godt overens med de eksakte nullpunktene $x=\pm \sqrt{2}$.

$\underline{\underline{x\approx -\mathrm{1,4142}\text{ og }x\approx \mathrm{1,4142}}}$