Grus på sti og kjeglehaug

Eva og Per Ivar skal legge grus på en sti fra parkeringsplassen og opp til hytta.

Stien er 25 m lang og 60 cm bred. De vil legge et 75 mm tykt lag med grus på stien.

Hvor mange kubikkmeter grus må de bestille?

Når de kommer til hytta, ligger grusen de har bestilt, i en kjegleformet haug på parkeringsplassen. Kjeglen har en diameter på $2{,}5 \mathrm{~m}$ og er $1{,}0 \mathrm{~m}$ høy.

Kjegleformet grushaug

Gjør beregninger og avgjør om de har fått levert nok grus.

Fasit

$\underline{\underline{V_{\text{sti}} = 1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}$

Kjeglen har volum $\approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3 > 1{,}125 \, \mathrm{m}^3$ , så de har fått levert nok grus.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen for volum av et rektangulært prisme (rettvinket firkantet søyle):

V = \text{lengde} \cdot \text{bredde} \cdot \text{høyde}

Stien er 25 m lang, 60 cm = $0{,}60 \, \mathrm{m}$ bred, og gruset skal være 75 mm = $0{,}075 \, \mathrm{m}$ tykt.

V_{\text{sti}} = 25 \, \mathrm{m} \cdot 0{,}60 \, \mathrm{m} \cdot 0{,}075 \, \mathrm{m} = \mathbf{\underline{\underline{1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}}

De må bestille $\underline{\underline{1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}$ grus.

Grusen er levert som en kjegleformet haug. Vi beregner volumet av kjeglen og sammenligner med behovet fra oppgave a.

Kjeglen har diameter $d = 2{,}5 \, \mathrm{m}$ , altså radius $r = 1{,}25 \, \mathrm{m}$ , og høyde $h = 1{,}0 \, \mathrm{m}$ .

Tverrsnitt av kjegleformet grushaug (r = 1,25 m, h = 1,0 m)

Formelen for volumet av en kjegle er:

V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

Vi setter inn verdiene:

V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (1{,}25)^2 \cdot 1{,}0 \approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3

Vi sammenligner:

V_{\text{kjegle}} \approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3 > 1{,}125 \, \mathrm{m}^3 = V_{\text{sti}}

Kjeglen inneholder mer grus enn det som trengs til stien, så de har fått levert nok grus.

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: geometri
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid