Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Simon passerer 10 lyskryss på vei til skolen. Lyskryssene virker uavhengig av hverandre. Det er grønt lys i 24 s hvert minutt i hvert av lyskryssene.

For hånd

Begrunn at vi kan se på dette som et binomisk forsøk med $p = 0,40$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys oftere enn rødt lys.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han får grønt lys i tre kryss etter hverandre og rødt lys i alle de andre kryssene.

Fasit

Binomisk forsøk med $p = 0,40$ og $n = 10$

$P (X = 5) \approx 0,2007$

$P (X \geq 6) \approx 0,1662$

$P \approx 0,0143$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på de 10 lyskryssene som 10 forsøk. I hvert lyskryss er det bare to mulige utfall for Simon når han kommer til krysset: han får $grønt lys$ eller $rødt lys$ .

Siden lyssignalene virker uavhengig av hverandre, er sannsynligheten for grønt lys den samme i hvert kryss, og resultatet i ett kryss påvirker ikke resultatet i de andre. Det er grønt lys i $24$ av $60$ sekunder i hvert kryss, så sannsynligheten for grønt lys i et kryss er

p = \frac{24}{60} = 0,40

Vi har dermed $n = 10$ uavhengige forsøk, med to mulige utfall og samme sannsynlighet $p = 0,40$ for «suksess» (grønt lys) i hvert forsøk. Dette er nettopp definisjonen av et binomisk forsøk.

La $X$ være antall lyskryss av de 10 der Simon får grønt lys. Da er $X$ binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0,40$ .

Vi skal finne $P (X = 5)$ :

P (X = 5) = (\binom{10}{5}) \cdot {0,40}^{5} \cdot {0,60}^{5}

Beregning i GeoGebra CAS

Fra utklippet (linje 1) ser vi at $P_{5} \approx 0,20066$ .

P (X = 5) \approx 0,2007

Simon får grønt lys oftere enn rødt lys når han får grønt lys i minst $6$ av de $10$ kryssene, altså $X \geq 6$ :

P (X \geq 6) = \sum_{k = 6}^{10} (\binom{10}{k}) \cdot {0,40}^{k} \cdot {0,60}^{10 - k}

Fra utklippet (linje 2) ser vi at $P_{g e 6} \approx 0,16624$ .

P (X \geq 6) \approx 0,1662

Vi skal finne sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig tre kryss på rad (etterfulgt/omgitt av rødt lys i alle de andre kryssene). Blokken med de tre grønne kryssene kan plasseres på $8$ forskjellige måter blant de $10$ kryssene (start i kryss 1, 2, 3, …, eller 8):

GGG □ □ □ □ □ □ □, □ GGG □ □ □ □ □ □, \dots, □ □ □ □ □ □ □ GGG

For hver slik plassering er sannsynligheten ${0,40}^{3} \cdot {0,60}^{7}$ (tre grønne og sju røde). Total sannsynlighet blir dermed

P = 8 \cdot {0,40}^{3} \cdot {0,60}^{7}

Fra utklippet (linje 3) ser vi at $P_{d} \approx 0,01433$ .

P \approx 0,0143

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2017, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Grønt lys i ti lyskryss binomisk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer