Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Frisk videregående skole har satt i gang prosjektet «Sunne valg».

Hver uke registrerer elevene hvor mange porsjoner grønnsaker, frukt eller bær de har spist.

Nedenfor ser du noen resultater fra perioden januar–mai.

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Registrerte porsjoner	2060	5770	7795	8992	$10 105$	$11 656$	$13 099$	$14 000$

Krever PC

Bestem en modell på formen

P (x) = a \cdot x^{b}

som kan brukes for å beskrive sammenhengen mellom ukenummer og antall registrerte porsjoner.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, P (1))$ og $(20, P (20))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Krever PC

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $P$ i punktet $(6, P (6))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$P (x) = 2060 \cdot x^{0,64}$

Stigningstall sekant $\approx 629$ porsjoner/uke

Stigningstall tangent i uke 6 $\approx 692$ porsjoner/uke

Løsningsforslag

Vi bruker potensregresjon på dataene:

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Porsjoner	2060	5770	7795	8992	10 105	11 656	13 099	14 000

Regresjonsanalysen gir modellen

P (x) = 2060 \cdot x^{0,64}

Modellen passer svært godt til dataene ( $R^{2} \approx 1,00$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-7a

En modell for sammenhengen er $P (x) = 2060 \cdot x^{0,64}$ .

Stigningstallet til sekanten gjennom $(1, P (1))$ og $(20, P (20))$ :

P (1) = 2060 \cdot 1^{0,64} = 2060

P (20) = 2060 \cdot 20^{0,64} \approx 14 009

a = \frac{P (20) - P (1)}{20 - 1} = \frac{14 009 - 2060}{19} \approx 629

Stigningstallet er omtrent $629 porsjoner per uke$ .

Det betyr at antall registrerte porsjoner økte i gjennomsnitt med ca. 629 per uke i perioden fra uke 1 til uke 20.

Stigningstallet til tangenten i $(6, P (6))$ er den deriverte $P^{'} (6)$ :

P^{'} (x) = 2060 \cdot 0,64 \cdot x^{0,64 - 1} = 1318,4 \cdot x^{- 0,36}

P^{'} (6) = 1318,4 \cdot 6^{- 0,36} \approx 692

Stigningstallet til tangenten i uke 6 er omtrent $692 porsjoner per uke$ .

Det betyr at antallet registrerte porsjoner økte med ca. 692 per uke akkurat i uke 6 (øyeblikkelig endringsrate). Dette er noe høyere enn det gjennomsnittlige stigningstallet for hele perioden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som bruker en potensfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, får 1 poeng. En kandidat som ikke bruker en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktige beregninger og 1 poeng for vurdering av svaret.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2023, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Potensfunksjon, Stigningstall, Derivasjon, Tolkning
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer