Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Frisk videregående skole har satt i gang prosjektet «Sunne valg».

Hver uke registrerer elevene hvor mange porsjoner grønnsaker, frukt eller bær de har spist.

Nedenfor ser du noen resultater fra perioden januar–mai.

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Registrerte porsjoner	2060	5770	7795	8992	10 105	11 656	13 099	14 000

Bestem en modell på formen

P(x) = a \cdot x^b

som kan brukes for å beskrive sammenhengen mellom ukenummer og antall registrerte porsjoner.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $P$ i punktet $(6, P(6))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}$

Stigningstall sekant $\approx 629$ porsjoner/uke

Stigningstall tangent i uke 6 $\approx 692$ porsjoner/uke

Løsningsforslag

Vi bruker potensregresjon på dataene:

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Porsjoner	2060	5770	7795	8992	10 105	11 656	13 099	14 000

Regresjonsanalysen gir modellen

P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}

Modellen passer svært godt til dataene ( $R^2 \approx 1{,}00$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-7a

En modell for sammenhengen er $\underline{\underline{P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}}}$ .

Stigningstallet til sekanten gjennom $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$ :

P(1) = 2060 \cdot 1^{0{,}64} = 2060

P(20) = 2060 \cdot 20^{0{,}64} \approx 14\,009

a = \frac{P(20) - P(1)}{20 - 1} = \frac{14\,009 - 2060}{19} \approx 629

Stigningstallet er omtrent $\underline{\underline{629 \text{ porsjoner per uke}}}$ .

Det betyr at antall registrerte porsjoner økte i gjennomsnitt med ca. 629 per uke i perioden fra uke 1 til uke 20.

Stigningstallet til tangenten i $(6, P(6))$ er den deriverte $P'(6)$ :

P'(x) = 2060 \cdot 0{,}64 \cdot x^{0{,}64 - 1} = 1318{,}4 \cdot x^{-0{,}36}

P'(6) = 1318{,}4 \cdot 6^{-0{,}36} \approx 692

Stigningstallet til tangenten i uke 6 er omtrent $\underline{\underline{692 \text{ porsjoner per uke}}}$ .

Det betyr at antallet registrerte porsjoner økte med ca. 692 per uke akkurat i uke 6 (øyeblikkelig endringsrate). Dette er noe høyere enn det gjennomsnittlige stigningstallet for hele perioden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: modellering, potensfunksjon, stigningstall, derivasjon, tolkning
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane