Grenseverdier

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke

$a = 3$ , grenseverdi $= \dfrac{1}{6}$

Løsningsforslag

Vi faktoriserer nevneren: $x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$ .

Nevneren går mot 0 når $x \to -2$ , mens telleren gir

(-2)^2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0

Siden teller $\to 14$ og nevner $\to 0$ , eksisterer ikke grenseverdien.

Del 1 – bestemme $a$ :

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også gå mot 0 når $x \to -2$ (siden nevneren gjør det). Vi krever

(-2)^2 + a(-2) + 2 = 0 \implies 4 - 2a + 2 = 0 \implies a = 3

$\underline{\underline{a = 3}}$

Del 2 – beregne grenseverdien:

Med $a = 3$ : teller $= x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$ .

\lim_{x \to -2} \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+1}{x-4} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}

Grenseverdien er $\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}$ .

Sensorveiledning

Kandidaten får uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm\infty$ .

1 poeng for å finne $a$ og 1 poeng for å finne grenseverdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: grenseverdi, kontinuitet, faktorisering
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier