Grenseverdier og eksistens

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - 2 x - 8}

Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + a x + 2}{x^{2} - 2 x - 8}

Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$ .

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke

$a = 3$ , grenseverdi $= \frac{1}{6}$

Løsningsforslag

Vi sjekker nevneren i $x = - 2$ :

x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2) ⟹ nevner = 0 når x = - 2

Telleren i $x = - 2$ :

{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0

Siden nevneren er $0$ og telleren er $\neq 0$ i $x = - 2$ , eksisterer ikke grenseverdien.

Del 1 – bestem $a$ :

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også være $0$ i $x = - 2$ :

{(- 2)}^{2} + a \cdot (- 2) + 2 = 0 ⟹ 6 - 2 a = 0 ⟹ a = 3

Del 2 – bestem grenseverdien:

Med $a = 3$ faktoriserer vi teller og nevner:

\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)}

Kansellerer $(x + 2)$ (vi ser bort fra $x = - 2$ siden vi tar grenseverdi):

\lim_{x \to - 2} \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{- 2 + 1}{- 2 - 4} = \frac{- 1}{- 6}

Grenseverdien er $\frac{1}{6}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten får uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm \infty$ .

1 poeng for å finne $a$ og 1 poeng for å finne grenseverdien.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Grenseverdi, Kontinuitet
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Innstillinger