Vi deriverer $K(x)=\mathrm{0,2}{x}^2+50x+2000$:

Vi setter inn $x=100$:

$K^{\prime }(100)=90$ er grensekostnaden ved produksjon av $100$ enheter. Den forteller oss omtrent hvor mye kostnadene øker (i kroner) dersom produksjonen økes fra $100$ til $101$ enheter per dag.

Overskuddet er $O(x)=-\mathrm{0,3}{x}^2+90x-2000$. Vi deriverer for å finne eventuelle topp- eller bunnpunkter:

Vi setter $O^{\prime }(x)=0$:

Siden $O(x)$ er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran $x^2$, er dette et toppunkt (maksimum). Vi sjekker fortegnet til $O^{\prime }(x)$: for $x<150$ er $O^{\prime }(x)>0$ (voksende), og for $x>150$ er $O^{\prime }(x)<0$ (avtagende), så $x=150$ gir størst overskudd.

Bedriften får størst overskudd ved å produsere og selge $150$ enheter per dag.

Overskuddet er inntekt minus kostnad, altså $O(x)=I(x)-K(x)$, som gir $I(x)=O(x)+K(x)$.

Vi finner $O(100)$ og $K(100)$:

Da blir inntekten

Inntekten ved produksjon og salg av $100$ enheter per dag er $13000$ kroner.

Det nye overskuddet er $O_{\text{ny}}(x)=I(x)-K(x)$, der $I(x)=-\mathrm{0,1}{x}^2+ax$:

Vi deriverer:

Bedriften skal få størst overskudd ved $x=100$, så $O_{\text{ny}}^{\prime }(100)=0$:

Verdien til $a$ må være $110$ for at bedriften skal få størst overskudd ved produksjon og salg av $100$ enheter per dag.