Grensekostnad og programmering

En bedrift produserer en vare. De daglige kostnadene $K$ (i kroner) ved produksjon av $x$ enheter av varen er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 + 100x + 9000

Den økonomiansvarlige i bedriften har laget programmet nedenfor.

def K(x):
    return 0.1*x**2 + 100*x + 9000

grense = 200
h = 0.00001
a = 1

while (K(a + h) - K(a))/h < grense:
    a = a + 1

print(a)

Hva blir resultatet når programmet kjøres? Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

500. Programmet finner minste antall produserte enheter der grensekostnaden er minst 200 kr.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner grensekostnaden ved å derivere $K(x)$ :

K'(x) = 0{,}2x + 100

Programmet beregner den numeriske tilnærmingen til $K'(a)$ med formelen

\frac{K(a + h) - K(a)}{h}, \quad h = 0{,}00001

og øker $a$ med 1 så lenge denne tilnærmingen er mindre enn grense = 200. Løkken stopper første gang tilnærmingen er $\geq 200$ , og programmet skriver ut $a$ .

Vi finner den eksakte verdien analytisk. Betingelsen $K'(a) \geq 200$ gir

0{,}2a + 100 \geq 200 \implies 0{,}2a \geq 100 \implies a \geq 500

Minste heltall som oppfyller dette er $a = 500$ .

Kontroll med programmet:

For $a = 499$ : $\dfrac{K(499{,}00001) - K(499)}{0{,}00001} \approx 199{,}8 < 200$ , så løkken kjører videre.
For $a = 500$ : $\dfrac{K(500{,}00001) - K(500)}{0{,}00001} \approx 200{,}000001 \geq 200$ , så betingelsen blir usann og løkken stopper.

Programmet skriver ut $\underline{\underline{500}}$ .

Praktisk tolkning: Når bedriften produserer 500 enheter daglig, er grensekostnaden 200 kr — det vil si at den ekstra kostnaden ved å produsere én enhet til er omtrent 200 kr. Programmet finner altså det minste produksjonsvolumet der grensekostnaden når 200 kr.

Sensorveiledning

Det gis 1 poeng for å regne ut rett resultat og 1 poeng for den praktiske tolkningen, ingen poeng for å forklare programmet.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: programmering, grenseinntekt og grensekostnad, økonomi
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer