Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Det viser seg at kostnadene $K (x)$ og inntektene $I (x)$ per dag er gitt ved

K (x) = 0,1 x^{2} - 10 x + 2200

I (x) = 2400 \cdot \ln (x + 1)

Kalkulator

Bestem $K^{'} (100)$ og $I^{'} (100)$ . Kan du ut fra disse tallene si om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag?

Kalkulator

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd for bedriften.

Fasit

$K^{'} (100) = 10$ , $I^{'} (100) = \frac{2400}{101} \approx 23,76$ . Siden $I^{'} (100) > K^{'} (100)$ bør bedriften produsere flere enn 100 enheter.

$x \approx 137$ gir størst overskudd $O (137) \approx 9118 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer kostnadsfunksjonen og inntektsfunksjonen.

K (x) = 0,1 x^{2} - 10 x + 2200 ⟹ K^{'} (x) = 0,2 x - 10

I (x) = 2400 \cdot \ln (x + 1) ⟹ I^{'} (x) = \frac{2400}{x + 1}

Vi setter inn $x = 100$ :

K^{'} (100) = 0,2 \cdot 100 - 10 = 10

I^{'} (100) = \frac{2400}{100 + 1} = \frac{2400}{101} \approx 23,76

Tolkning: $K^{'} (100) = 10$ betyr at den 101. enheten koster ca. $10 kr$ å produsere. $I^{'} (100) \approx 23,76$ betyr at den 101. enheten gir ca. $23,76 kr$ i inntekt. Siden $I^{'} (100) > K^{'} (100)$ , er overskuddet stigende ved $x = 100$ , og bedriften bør produsere flere enn 100 enheter.

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x)$ . Vi finner maksimum ved å bruke GeoGebra CAS.

Vi definerer funksjonene og løser $O^{'} (x) = 0$ , som tilsvarer $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ (grenseinntekt = grensekostnad):

GeoGebra CAS – derivasjon og løsning av O'(x) = 0

CAS gir løsningen

x = \frac{\sqrt{50601} + 49}{2} \approx 137

(Den negative roten forkastes siden $x \geq 0$ .)

Vi leser av grafen under at overskuddsfunksjonen $O (x)$ (grønn) har maksimum nær $x = 137$ , der inntektskurven $I (x)$ (blå) og kostnadskurven $K (x)$ (rød) har størst avstand:

Graf av K(x), I(x) og O(x) med makspunkt markert

$O (137) = 2400 \cdot \ln (138) - (0,1 \cdot 137^{2} - 10 \cdot 137 + 2200) \approx 9119 kr$

Bedriften bør produsere $x \approx 137$ enheter per dag, og da er det maksimale overskuddet ca. $9118 kr$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2013, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi

Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Grensekostnad og maksimalt overskudd for bedrift

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer