Grenseinntekt og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er $p$ kroner per enhet, får de solgt $x$ enheter av varen slik tabellen viser.

$x$	98	510	751	990
$p$	2200	2100	2050	2000

Krever PC

Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk $p (x)$ for prisen $p$ . Bruk dette til å bestemme et uttrykk $I (x)$ for inntektsfunksjonen $I$ .

Bedriften har funnet ut at kostnadene $K (x)$ (målt i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved

K (x) = 0,03 x^{2} + 15 x + 605 000

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3 000 enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Løs ulikheten $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ . Hva forteller svaret oss?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

$p (x) \approx - 0,224 x + 2219$ , $I (x) \approx - 0,2242 x^{2} + 2219,17 x$

$I^{'} (3000) \approx 874$ kr, $K^{'} (3000) = 195$ kr. Siden grenseinntekten er større enn grensekostnaden, bør bedriften øke produksjonen.

$I^{'} (x) > K^{'} (x)$ for $x < 4335$ . Så lenge produksjonen er under ca. 4 335 enheter, øker overskuddet ved å produsere én enhet til.

Maksimalt overskudd ved $x \approx 4335$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker lineær regresjon på datapunktene fra tabellen:

$x$	98	510	751	990
$p$	2200	2100	2050	2000

Lineær regresjon gir

p (x) \approx - 0,2242 x + 2219,17 \approx - 0,224 x + 2219

Inntektsfunksjonen er $I (x) = x \cdot p (x)$ :

I (x) = x (- 0,2242 x + 2219,17) = - 0,2242 x^{2} + 2219,17 x

Vi deriverer inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen:

I^{'} (x) = - 0,4484 x + 2219,17

K^{'} (x) = 0,06 x + 15

Grenseinntekt ved $x = 3000$ :

I^{'} (3000) = - 0,4484 \cdot 3000 + 2219,17 = - 1345,2 + 2219,17 \approx 874 kr

Grensekostnad ved $x = 3000$ :

K^{'} (3000) = 0,06 \cdot 3000 + 15 = 180 + 15 = 195 kr

Siden grenseinntekten ( $874$ kr) er større enn grensekostnaden ( $195$ kr), vil én ekstra enhet gi mye mer i inntekt enn den koster å produsere. Bedriften bør øke produksjonen.

Vi løser ulikheten $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ :

- 0,4484 x + 2219,17 > 0,06 x + 15

2219,17 - 15 > 0,06 x + 0,4484 x

2204,17 > 0,5084 x

x < \frac{2204,17}{0,5084} \approx 4335

Ulikheten $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ gjelder for $x < 4335$ .

Tolkning: Så lenge bedriften produserer færre enn ca. 4 335 enheter, er grenseinntekten større enn grensekostnaden — det vil si at hver ekstra enhet gir mer inntekt enn den koster. Det lønner seg å øke produksjonen inntil $x \approx 4335$ .

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x)$ . Maksimalt overskudd oppnås når $O^{'} (x) = 0$ , det vil si når $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ :

- 0,4484 x + 2219,17 = 0,06 x + 15

2204,17 = 0,5084 x

x = \frac{2204,17}{0,5084} \approx 4335

Bedriften bør produsere og selge ca. 4 335 enheter for å maksimere overskuddet.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2014, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Regresjon, Ulikheter, Optimering

Grenseinntekt og grensekostnad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grenseinntekt og grensekostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grenseinntekt og grensekostnad

Grenseinntekt og grensekostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer