Gjennomsnitt og standardavvik for falltidsmålinger med utligertest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En dag gjorde klasse 1A et forsøk i naturfagtimen. Seks elever slapp hver sin stålkule fra $1 \mathrm{~m}$ høyde og målte tiden det tok før kulen traff bakken. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Elev	1	2	3	4	5	6
Tid (sekunder)	$0{,}46$	$0{,}45$	$0{,}47$	$0{,}44$	$0{,}52$	$0{,}46$

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for måleresultatene.

Klassen la merke til at elev nummer 5 målte en større falltid enn de andre. Mange mente at dette resultatet måtte skyldes målefeil, og at det derfor burde forkastes.

Da ga fysikklærer Strøm dem denne regelen:

«Når vi har seks målinger, kan vi forkaste et måleresultat dersom det ligger mer enn $1{,}4$ standardavvik fra gjennomsnittet.»

Finn ut om måleresultatet til elev nummer 5 kan forkastes dersom vi bruker regelen ovenfor.

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for de fem andre måleresultatene.

Hvordan har gjennomsnitt og standardavvik endret seg? Virker dette rimelig? Forklar.

Fasit

Gjennomsnitt $\approx 0{,}467 \, \mathrm{s}$ , standardavvik $\approx 0{,}026 \, \mathrm{s}$

Avviket $\approx 0{,}053 \, \mathrm{s}$ er større enn grensen $\approx 0{,}036 \, \mathrm{s}$ — målingen kan forkastes

Gjennomsnitt $\approx 0{,}456 \, \mathrm{s}$ , standardavvik $\approx 0{,}010 \, \mathrm{s}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger sammen alle seks målingene og deler på 6:

\bar{x} = \frac{0{,}46 + 0{,}45 + 0{,}47 + 0{,}44 + 0{,}52 + 0{,}46}{6} = \frac{2{,}80}{6} \approx 0{,}467 \, \mathrm{s}

For standardavviket regner vi ut avviket fra gjennomsnittet for hver måling, kvadrerer, tar gjennomsnittet av kvadratene og tar kvadratroten:

Elev	Tid $x$	$x - \bar{x}$	$(x - \bar{x})^2$
1	$0{,}46$	$-0{,}007$	$0{,}000049$
2	$0{,}45$	$-0{,}017$	$0{,}000289$
3	$0{,}47$	$+0{,}003$	$0{,}000009$
4	$0{,}44$	$-0{,}027$	$0{,}000729$
5	$0{,}52$	$+0{,}053$	$0{,}002809$
6	$0{,}46$	$-0{,}007$	$0{,}000049$

\text{Varians} = \frac{0{,}000049 + 0{,}000289 + 0{,}000009 + 0{,}000729 + 0{,}002809 + 0{,}000049}{6} \approx 0{,}000656

\text{Standardavvik} = \sqrt{0{,}000656} \approx 0{,}026 \, \mathrm{s}

Gjennomsnittet er $\approx 0{,}467 \, \mathrm{s}$ og standardavviket er $\approx 0{,}026 \, \mathrm{s}$ .

Vi sjekker om målingen til elev 5 ( $0{,}52 \, \mathrm{s}$ ) avviker mer enn $1{,}4$ standardavvik fra gjennomsnittet.

Avviket til elev 5:

|0{,}52 - 0{,}467| \approx 0{,}053 \, \mathrm{s}

Grensen for forkasting:

1{,}4 \cdot 0{,}026 \approx 0{,}036 \, \mathrm{s}

Vi sammenligner:

0{,}053 > 0{,}036

Avviket er større enn grensen. Måleresultatet til elev 5 kan forkastes etter regelen til læreren.

Dette betyr at $0{,}52 \, \mathrm{s}$ mest sannsynlig skyldes en målefeil og ikke er en representativ måling av falltiden.

Vi beregner gjennomsnitt og standardavvik for de fem gjenværende målingene (uten $0{,}52 \, \mathrm{s}$ ):

\bar{x}_5 = \frac{0{,}46 + 0{,}45 + 0{,}47 + 0{,}44 + 0{,}46}{5} = \frac{2{,}28}{5} = 0{,}456 \, \mathrm{s}

Elev	Tid $x$	$x - \bar{x}_5$	$(x - \bar{x}_5)^2$
1	$0{,}46$	$+0{,}004$	$0{,}000016$
2	$0{,}45$	$-0{,}006$	$0{,}000036$
3	$0{,}47$	$+0{,}014$	$0{,}000196$
4	$0{,}44$	$-0{,}016$	$0{,}000256$
6	$0{,}46$	$+0{,}004$	$0{,}000016$

\text{Standardavvik} = \sqrt{\frac{0{,}000016 + 0{,}000036 + 0{,}000196 + 0{,}000256 + 0{,}000016}{5}} = \sqrt{0{,}000104} \approx 0{,}010 \, \mathrm{s}

Gjennomsnittet er $\approx 0{,}456 \, \mathrm{s}$ og standardavviket er $\approx 0{,}010 \, \mathrm{s}$ .

Sammenlignet med alle seks målinger har gjennomsnittet sunket fra $0{,}467 \, \mathrm{s}$ til $0{,}456 \, \mathrm{s}$ , og standardavviket har sunket kraftig fra $0{,}026 \, \mathrm{s}$ til $0{,}010 \, \mathrm{s}$ . Dette virker rimelig: $0{,}52 \, \mathrm{s}$ var den eneste høye verdien, og når vi fjerner den, trekkes gjennomsnittet ned og spredningen i målingene blir mye mindre.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt

Gjennomsnitt og standardavvik for falltidsmålinger med utligertest

Sync på tvers av enheter

Gjennomsnitt og standardavvik for falltidsmålinger med utligertest

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave