Gjennomsnitt med algoritme og program

I denne oppgaven skal du bruke algoritmen nedenfor til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til en funksjon $f$ i et intervall $[a, b]$ .

Velg $N + 1$ tall jevnt fordelt i intervallet $[a, b]$ .

La $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b$ være disse tallene.

Avstanden mellom et av tallene og det neste er da $\dfrac{b - a}{N}$ .

Regn ut gjennomsnittet $g$ av tallene $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_N)$ .

Da er $g$ en god tilnærmet verdi for gjennomsnittet til $f$ i $[a, b]$ .

Denne tilnærmingen blir bedre dess større $N$ er.

Lag et program som du kan bruke til å bestemme gjennomsnittet til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \sqrt{x}

i intervallet $[0, 1]$ . Hva blir dette gjennomsnittet?

Fasit

Gjennomsnittet til $f(x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ er $\mathbf{\dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Algoritmen beregner gjennomsnittet av $N+1$ funksjonsverdier jevnt fordelt i intervallet. Vi velger punktene

x_i = a + i \cdot \frac{b - a}{N}, \quad i = 0, 1, \ldots, N

og regner ut gjennomsnittet

g = \frac{f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_N)}{N + 1}

Her er et program som implementerer algoritmen for $f(x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ :

from math import sqrt

def f(x):
    return sqrt(x)

a = 0
b = 1
N = 1000

sum_verdier = 0
for i in range(N + 1):
    x_i = a + i * (b - a) / N
    sum_verdier += f(x_i)

g = sum_verdier / (N + 1)
print(g)

Med $N = 1000$ gir programmet en verdi svært nær $0{,}6667$ .

Kontroll med integral:

Det eksakte gjennomsnittet til $f$ på $[a, b]$ er gitt ved

g = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x

For $f(x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ :

g = \frac{1}{1 - 0} \int_0^1 \sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}

Programmet gir altså en god tilnærming til det eksakte svaret $\mathbf{\underline{\underline{g = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667}}}$ .

Oppgavedata

Temaer: programmering, gjennomsnitt, integral
Kompetansemål: Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer