I en uendelig geometrisk rekke er $a_1={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,04}}}$ og $k={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,04}}}$.

a)

Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Frode har blitt bestefar. Han ønsker å gi barnebarnet Benjamin 10 000 kroner i gave hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Frode oppretter i den forbindelse en konto der han vil sette inn et engangsbeløp i dag som vil dekke alle de 20 framtidige utbetalingene. Kontoen har en fast årlig rentefot på 2,0 %.

b)

Sett opp en rekke som du kan bruke til å regne ut hvor mye Frode må sette inn på kontoen sin i dag for å kunne gjennomføre de 20 utbetalingene. (Du behøver ikke å regne ut beløpet.)

Fasit

a)

$s=75$

b)

$s={\displaystyle \sum _{i=1}^{20}\frac{10000}{{\mathrm{1,02}}^i}}$

LøsningsforslagKI-generert

a)

Vi har $a_1={\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,04}}}$ og $k={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,04}}}$.

Siden $|k|={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,04}}}\approx \mathrm{0,962}<1$, konvergerer rekken.

Summen er

$$s=\frac{a_1}{1-k}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,04}}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,04}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,04}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{1,04}-1}{\mathrm{1,04}}}}=\frac{{\displaystyle \frac{3}{\mathrm{1,04}}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,04}}{\mathrm{1,04}}}}=\frac{3}{\mathrm{0,04}}$$

$$\underline{\underline{s=75}}$$

b)

Frode setter inn et engangsbeløp $s$ i dag. Om $i$ år skal han betale ut 10 000 kr. Nåverdien av utbetalingen om $i$ år er

$$\frac{10000}{{\mathrm{1,02}}^i}$$

Engangsbeløpet må dekke nåverdien av alle 20 utbetalingene:

$$\underline{\underline{s=\sum _{i=1}^{20}\frac{10000}{{\mathrm{1,02}}^i}=\frac{10000}{\mathrm{1,02}}+\frac{10000}{{\mathrm{1,02}}^2}+\cdots +\frac{10000}{{\mathrm{1,02}}^{20}}}}$$

Dette er en endelig geometrisk rekke med $a_1={\displaystyle \frac{10000}{\mathrm{1,02}}}$ og $k={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,02}}}$.