Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt rekken

1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \dots + {(\frac{3}{2})}^{n - 1}

Kalkulator

Bestem $S_{10}$

Finn et uttrykk for $S_{n}$

Kalkulator

Hvor mange ledd må vi minst ta med for at $S_{n}$ skal overstige $1 000 000$ ?

Fasit

1) $S_{10} = \frac{58025}{512} \approx 113,33$

$S_{n} = 2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n} - 2$

$n = 33$

LøsningsforslagKI-generert

Vi identifiserer rekken som en geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = 1$ og kvotient $k = \frac{3}{2}$ .

1) Beregn $S_{10}$

Formelen for summen av en geometrisk rekke er

S_{n} = \frac{a_{1} (k^{n} - 1)}{k - 1}

Vi setter inn $a_{1} = 1$ , $k = \frac{3}{2}$ og $n = 10$ :

S_{10} = \frac{1 \cdot ({(\frac{3}{2})}^{10} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{{(\frac{3}{2})}^{10} - 1}{\frac{1}{2}} = 2 {(\frac{3}{2})}^{10} - 2

GeoGebra CAS bekrefter:

GeoGebra CAS: S_n, S_10 og ulikhet

𝐒_{𝟏𝟎} = \frac{𝟓𝟖𝟎𝟐𝟓}{𝟓𝟏𝟐} \approx 𝟏𝟏𝟑,𝟑𝟑

2) Uttrykk for $S_{n}$

På samme måte gir formelen generelt:

S_{n} = \frac{1 \cdot ({(\frac{3}{2})}^{n} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 2 {(\frac{3}{2})}^{n} - 2

𝐒_{𝐧} = 𝟐 {(\frac{𝟑}{𝟐})}^{𝐧} - 𝟐

Vi ønsker å finne minste $n$ slik at $S_{n} > 1 000 000$ .

Vi setter opp ulikheten:

2 {(\frac{3}{2})}^{n} - 2 > 1 000 000

2 {(\frac{3}{2})}^{n} > 1 000 002

{(\frac{3}{2})}^{n} > 500 001

Vi tar logaritmen på begge sider:

n \cdot \ln (\frac{3}{2}) > \ln (500 001)

n > \frac{\ln (500 001)}{\ln (\frac{3}{2})} \approx 32,4

Siden $n$ må være et heltall, er minste $n$ lik $33$ .

Vi kontrollerer:

$S_{32} = 2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{32} - 2 \approx 862 878 < 1 000 000$
$S_{33} = 2 \cdot {(\frac{3}{2})}^{33} - 2 \approx 1 294 318 > 1 000 000$

Vi må ta med minst $33 ledd$ for at $S_{n}$ skal overstige $1 000 000$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Alle svarene i oppgaven kan finnes ved å bruke et egnet digitalt verktøy. Dette må også kunne gi full uttelling. Eleven må i tilfelle gjøre nøyaktig rede for hvordan verktøyet brukes.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2011, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Tallfølger

Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2

Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer