Gangbro modellert med andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gangbro over elv

En gangbro går over en elv. I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en skisse av broen. På skissen går broen fra punktet $A$ til punktet $B$ .

Koordinatsystem med broens form

Funksjonen $G$ gitt ved

G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0 \quad , \quad 0 \leq x \leq 100

viser broens høyde $G(x)$ meter over elva ved normal vannstand der den horisontale avstanden fra punktet $A$ er $x$ meter.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $G$ .

Båt med mast på 290 cm

En båt har en mast som når 290 cm over vannflaten. Se ovenfor.

Vil båten kunne passere under broen ved normal vannstand?

Broen hviler på to bropilarer i punktene $D$ og $F$ . Ved normal vannstand er høydene $CD$ og $EF$ fra vannflaten opp til broen lik $2{,}5 \mathrm{~m}$ .

Bestem avstanden fra $C$ til $E$ .

Fasit

Graf: andregradsfunksjon med toppunkt i $(50, 3)$ , definert for $0 \leq x \leq 100$ .

Ja, båten kan passere. Maksimal høyde er $3{,}0 \mathrm{~m}$ , og masten er $2{,}9 \mathrm{~m}$ .

$\underline{\underline{CE = 50 \mathrm{~m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $G(x) = -0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0$ er en nedovervendt parabel definert for $0 \leq x \leq 100$ .

Vi finner toppunktet ved å bruke formelen $x_T = -\dfrac{b}{2a}$ med $a = -0{,}0008$ og $b = 0{,}08$ :

x_T = -\frac{0{,}08}{2 \cdot (-0{,}0008)} = -\frac{0{,}08}{-0{,}0016} = 50

G(50) = -0{,}0008 \cdot 50^2 + 0{,}08 \cdot 50 + 1{,}0 = -2{,}0 + 4{,}0 + 1{,}0 = 3{,}0

Toppunktet er $(50 , 3{,}0)$ .

Vi finner også endepunktene:

G(0) = 1{,}0 \quad \text{og} \quad G(100) = -0{,}0008 \cdot 10000 + 0{,}08 \cdot 100 + 1{,}0 = -8 + 8 + 1 = 1{,}0

Grafen starter og slutter i høyde $1{,}0 \mathrm{~m}$ , buer opp til $3{,}0 \mathrm{~m}$ midt på ved $x = 50$ .

Grafen til gangbroen med toppunkt

Båtmasten er $290 \mathrm{~cm} = 2{,}90 \mathrm{~m}$ .

For at båten skal kunne passere under broen, må broen være høyere enn $2{,}90 \mathrm{~m}$ der båten befinner seg.

Vi fant i a) at den høyeste punktet på broen er i toppunktet:

G(50) = 3{,}0 \mathrm{~m}

Vi sjekker om $G(x) \geq 2{,}90$ for alle $x$ -verdier langs broen. Det enkleste er å finne hvor broen er nøyaktig $2{,}90 \mathrm{~m}$ høy ved å løse $G(x) = 2{,}90$ :

-0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0 = 2{,}90

-0{,}0008x^2 + 0{,}08x - 1{,}90 = 0

Med $a = -0{,}0008$ , $b = 0{,}08$ , $c = -1{,}90$ :

x = \frac{-0{,}08 \pm \sqrt{0{,}08^2 - 4 \cdot (-0{,}0008) \cdot (-1{,}90)}}{2 \cdot (-0{,}0008)}

x = \frac{-0{,}08 \pm \sqrt{0{,}0064 - 0{,}00608}}{-0{,}0016} = \frac{-0{,}08 \pm \sqrt{0{,}00032}}{-0{,}0016}

\sqrt{0{,}00032} \approx 0{,}01789

x = \frac{-0{,}08 + 0{,}01789}{-0{,}0016} \approx 38{,}8 \quad \text{eller} \quad x = \frac{-0{,}08 - 0{,}01789}{-0{,}0016} \approx 61{,}2

Broen er minst $2{,}90 \mathrm{~m}$ høy for $38{,}8 \leq x \leq 61{,}2$ . Utenfor dette området er broen lavere enn $2{,}90 \mathrm{~m}$ , men der befinner broen seg ikke nødvendigvis over elven.

Siden den maksimale høyden på broen er $3{,}0 \mathrm{~m}$ og masten er $2{,}9 \mathrm{~m}$ , vil båten kunne passere midt under broen. Båten vil kunne passere under broen ved normal vannstand.

Høydene $CD$ og $EF$ er $2{,}5 \mathrm{~m}$ . Det betyr at bropilarne sitter der $G(x) = 2{,}5$ .

Vi løser likningen:

-0{,}0008x^2 + 0{,}08x + 1{,}0 = 2{,}5

-0{,}0008x^2 + 0{,}08x - 1{,}5 = 0

Vi ganger begge sider med $-1250$ for å få enklere koeffisienter:

x^2 - 100x + 1875 = 0

Vi bruker ABC-formelen med $a = 1$ , $b = -100$ , $c = 1875$ :

x = \frac{100 \pm \sqrt{(-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1875}}{2 \cdot 1} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 7500}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{2500}}{2} = \frac{100 \pm 50}{2}

x_C = \frac{100 - 50}{2} = 25 \quad \text{og} \quad x_E = \frac{100 + 50}{2} = 75

Punkt $C$ er ved $x = 25$ og punkt $E$ er ved $x = 75$ .

Avstanden fra $C$ til $E$ er:

CE = 75 - 25 = 50 \mathrm{~m}

Avstanden fra $C$ til $E$ er $\underline{\underline{50 \mathrm{~m}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Andregradslikninger, Modellering, Funksjoner

Gangbro modellert med andregradsfunksjon

Sync på tvers av enheter

Gangbro modellert med andregradsfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave