Vi bruker standardformen $f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$ og bestemmer konstantene fra grafen.

Amplitude $A$:

Grafen svinger mellom en maksimalverdi og en minimalverdi. Vi avleser

$$\text{maks} = 1, \qquad \text{min} = -3$$

Amplituden er halvparten av svingningsbredden:

$$A = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2} = \frac{1 - (-3)}{2} = \frac{4}{2} = \textcolor{seagreen}{2}$$

Likevektslinje $d$:

Likevektslinjen ligger midt mellom topp og bunn:

$$d = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = \textcolor{steelblue}{-1}$$

Periode $T$ og $c$:

Fra grafen avleser vi at én full svingning har lengde $T = \pi$. Da er

$$c = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = \textcolor{tomato}{2}$$

Faseforskyvning $\varphi$:

Vi avleser at $x = 0$ er et bunnpunkt, dvs. $f(0) = -3$. Vi setter dette inn i uttrykket med verdiene vi allerede har funnet:

$$f(0) = 2\sin(\varphi) - 1 = -3$$ $$\begin{aligned} 2\sin(\varphi) &= -2 \\ \sin(\varphi) &= -1 \\ \varphi &= -\frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

Funksjonsuttrykk:

$$\boxed{f(x) = 2\sin\!\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) - 1}$$

Merk: siden $\sin\!\left(\theta - \tfrac{\pi}{2}\right) = -\cos(\theta)$, er dette ekvivalent med

$$f(x) = -2\cos(2x) - 1$$

Svar: $\underline{\underline{f(x) = 2\sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right) - 1}}$