Vi deriverer $f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+x^2+2$ ledd for ledd:

Vi finner mulige topp- og bunnpunkter ved å løse $f^{\prime }(x)=0$:

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, setter vi opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=-2x(x-1)$:

• For $x<0$, for eksempel $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=-2(-1)(-2)=-4<0$
• For $0<x<1$, for eksempel $x=\mathrm{0,5}$: $f^{\prime }(\mathrm{0,5})=-2(\mathrm{0,5})(-\mathrm{0,5})=\mathrm{0,5}>0$
• For $x>1$, for eksempel $x=2$: $f^{\prime }(2)=-2(2)(1)=-4<0$

$f^{\prime }$ skifter fra negativ til positiv i $x=0$, så dette er et bunnpunkt. $f^{\prime }$ skifter fra positiv til negativ i $x=1$, så dette er et toppunkt.

Vi finner funksjonsverdiene:

Grafen til $f$ har altså et bunnpunkt i $(0,2)$ og et toppunkt i $(1,\frac{7}{3})$.

Vi regner ut:

Fra b) vet vi at $f$ er

• avtagende for $x<0$, ned til bunnpunktet $(0,2)$
• voksende for $0<x<1$, opp til toppunktet $(1,\frac{7}{3})$
• avtagende for $x>1$

Siden bunnpunktverdien $f(0)=2$ er positiv, er $f(x)\ge 2>0$ for alle $x\le 1$ — grafen kan derfor ikke krysse x-aksen der. For $x>1$ er $f$ avtagende, uten flere topp- eller bunnpunkter. Siden $f(1)=\frac{7}{3}>0$ og $f(3)=-7<0$, må grafen krysse x-aksen nøyaktig én gang mellom $x=1$ og $x=3$.

Dermed har $f$ bare ett nullpunkt.