Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 4x^2 \cdot \ln x

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor:

from math import log              # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):                         # definerer funksjonen
    return 4*x**2*log(x)

m = (a + b)/2

while abs(f(m)) >= maks_avvik:    # abs() finner absoluttverdi

	if f(a)*f(m) < 0:
		b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b)/2

print(m)

Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva programmet gjør i linje 11–20.
Bestem verdien som blir skrevet ut når eleven kjører programmet.

Fasit

Bunnpunkt $\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)$ , ingen toppunkt

$m \approx 1{,}000$

Løsningsforslag

$f(x) = 4x^2 \ln x$ er definert for $x > 0$ .

f'(x) = 8x \ln x + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} = 8x \ln x + 4x = 4x(2\ln x + 1)

For $x > 0$ er $4x > 0$ , så $f'(x) = 0$ når $2\ln x + 1 = 0$ , det vil si $\ln x = -\dfrac{1}{2}$ , altså $x = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ .

Fortegnskifte: $f' < 0$ for $x < e^{-1/2}$ og $f' > 0$ for $x > e^{-1/2}$ , så dette er et bunnpunkt.

f\left(e^{-1/2}\right) = 4 \cdot e^{-1} \cdot \ln\left(e^{-1/2}\right) = \frac{4}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{e}

Bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)}}$

Grafen til $f$ har ingen toppunkt.

Eleven ønsker å finne nullpunktet til $f$ i intervallet $[0{,}1,\; 3]$ , ved hjelp av halveringsmetoden.

$f(0{,}1) = 4 \cdot 0{,}01 \cdot \ln(0{,}1) \approx -0{,}092 < 0$ og $f(3) = 36\ln 3 \approx 39{,}6 > 0$ , så det finnes ett nullpunkt i intervallet. (Vi ser at $f(x) = 4x^2 \ln x = 0$ for $x = 1$ .)

Hva programmet gjør i linje 11–20:

Linje 11 setter $m$ til midtpunktet i intervallet $[a, b]$ .
Linje 13: loopen fortsetter så lenge $|f(m)| \ge 0{,}0001$ .
Linje 15–16: dersom $f(a)$ og $f(m)$ har motsatt fortegn, er nullpunktet i $[a, m]$ → vi oppdaterer $b = m$ .
Linje 17–18: ellers er nullpunktet i $[m, b]$ → vi oppdaterer $a = m$ .
Linje 20: ny midtpunkt beregnes.

Programmet halverer intervallet i hver iterasjon til $|f(m)|$ er tilstrekkelig liten.

Programmet skriver ut $\underline{\underline{m \approx 1{,}000}}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å derivere riktig og 1 poeng for å finne koordinatene.

1 poeng for å forklare og beskrive koden og 1 poeng for å finne verdien.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: derivasjon, funksjonsdrøfting, programmering, halveringsmetoden
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon