Vi bruker produktregelen på $f(x)=x\cdot e^x$, med $u=x$ og $v=e^x$:

Vi deriverer på nytt, igjen med produktregelen på $(x+1)\cdot e^x$:

Bunnpunkt: Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$ for alle $x$, må $x+1=0$, altså $x=-1$. For $x<-1$ er $f^{\prime }(x)<0$, og for $x>-1$ er $f^{\prime }(x)>0$, så $f$ har et minimum (bunnpunkt) i $x=-1$. Funksjonsverdien er

Vendepunkt: Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

For $x<-2$ er $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav), og for $x>-2$ er $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks), så krumningen skifter og $x=-2$ er et vendepunkt. Funksjonsverdien er

Vi skal bevise ved induksjon at $f^{(n)}(x)=(x+n)e^x$ for alle heltall $n\ge 1$.

Basissteg ($n=1$): Fra a) er $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, som stemmer med formelen for $n=1$.

Induksjonshypotese: Anta at formelen holder for et vilkårlig $n=k$, altså at

Induksjonssteg: Vi skal vise at formelen da også holder for $n=k+1$. Vi deriverer $f^{(k)}(x)$ med produktregelen:

Dette er nettopp formelen med $n=k+1$ satt inn.

Konklusjon: Siden formelen holder for $n=1$, og siden den holder for $n=k+1$ når den holder for $n=k$, følger det av induksjonsprinsippet at