Vi har $f(x)=(x-1)\cdot e^x$.

Skjæring med $y$-aksen ($x=0$):

Grafen skjærer $y$-aksen i $(0,-1)$.

Skjæring med $x$-aksen ($f(x)=0$):

Siden $e^x>0$ for alle $x$, må $x-1=0$, altså $x=1$. Grafen skjærer $x$-aksen i $(1,0)$.

CAS-utregningene i b), c) og d) er vist i skjermbildet under:

Vi deriverer $f$ med produktregelen, $f(x)=(x-1)\cdot e^x$:

Dette stemmer med CAS-utregningen på linje 3 i skjermbildet (der $\ln (e)=1$ er brukt).

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$, må $x=0$. Dette bekreftes av CAS på linje 4.

Fortegnsdrøfting av $f^{\prime }(x)=x\cdot e^x$: siden $e^x>0$ alltid, avhenger fortegnet kun av $x$.

• For $x<0$: $f^{\prime }(x)<0$ (grafen synker)
• For $x>0$: $f^{\prime }(x)>0$ (grafen stiger)

Dette gir et $\text{bunnpunkt}$ i $x=0$. Vi finner $y$-verdien:

Bunnpunktet er $(0,-1)$. Siden $f^{\prime }(x)<0$ for alle $x<0$ og $f^{\prime }(x)>0$ for alle $x>0$ i definisjonsområdet, er det ikke noe toppunkt.

Punktet der grafen synker raskest, er der $f^{\prime }(x)$ har sitt minste (mest negative) verdi, altså der $f^{\prime \prime }(x)=0$ og $f^{\prime }$ går fra avtagende til voksende.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=x\cdot e^x$ på nytt med produktregelen:

Dette stemmer med CAS-utregningen på linje 5.

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Siden $e^x>0$, må $1+x=0$, altså $x=-1$. Dette bekreftes av CAS på linje 6.

Fortegnsdrøfting av $f^{\prime \prime }(x)=e^x(1+x)$:

• For $x<-1$: $f^{\prime \prime }(x)<0$, så $f^{\prime }$ er avtagende
• For $x>-1$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, så $f^{\prime }$ er voksende

Dermed har $f^{\prime }$ et minimum i $x=-1$, og dette er punktet der grafen synker raskest (vi sjekker at $f^{\prime }(-1)=-1\cdot e^{-1}<0$, så grafen faktisk synker der).

Vi finner $y$-verdien:

Punktet er $(-1,-{\displaystyle \frac{2}{e}})\approx (-1,-\mathrm{0,74})$.

Grafen til $f$ er tegnet med GeoGebra:

På intervallet $[1,2]$ ligger grafen på eller over $x$-aksen (siden $x-1\ge 0$ og $e^x>0$), så arealet av det skraverte området er gitt ved

GeoGebra gir (se A i grafen, samt CAS-utregningen på linje 8, der $\ln (e)=1$):

Arealet av området avgrenset av $x$-aksen, grafen til $f$ og linjene $x=1$ og $x=2$ er $e$ (arealenheter).